aus zylinder wird kegel ausgeschnitten

21.05.2007, 19:50	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
aus zylinder wird kegel ausgeschnitten hallo zusammen, wäre nett wenn ihr euch mal diese aufgabe anschaut und überprüft ob ich richtig liege. in einem zylinder mit dem radius r und der höhe h wird ein kegel herausgeschnitten. a) geben sie den rauminhalt des "restkörpers" an. b) die höhe h betrage nunmehr gerade r. wie hoch muss ein zu einer kugel vom radius r gehöriger kugelabschnitt sein, damit er den gleichen rauminhalt besitzt. so zu a): $\begin{eqnarray} V_{Z}-V_{K}=({\pi}r^2 h)-(\frac{1}{3} {\pi}r^2 h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{3} {\pi} r^2 h \end{eqnarray}$ und nu zu b): es ist ja hier $\begin{eqnarray} h=r \end{eqnarray}$ also folgt $\begin{eqnarray} V_{Restkoerper}=\frac{2}{3}\pi r^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{Kugelabschnitt}=\frac{1}{3} {\pi} 2r^3 \end{eqnarray}$ nun gilt jetzt aber folgendes: $\begin{eqnarray} V_{Restkoerper}=V_{Kugelabschnitt} \end{eqnarray}$ das liegt daran, dass hier h=r ist. daher muss die höhe des kugelabschnitts gleich dem radius sein. lieg ich damit richtig.....würd mich über ein paar anregungen freun
22.05.2007, 07:36	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht wo du die Formel für die Kugelkappe her hast? Kannst du mir da vielleicht mal ein bisschen auf die Sprünge helfen?
22.05.2007, 11:52	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich vermute DarthVader hat in $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}\pi h²(3r-h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=r \end{eqnarray}$ eingesetzt. womit er wohl richtig liegt. und daher bleibt die frage an DV: was ist das nun für ein kugeliges gebilde für h =r werner
22.05.2007, 12:37	MirDochEgal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte die Aufgabe dann aber eher so verstanden als wenn er das erst noch rauskriegen soll ist hier vielleicht ein glücklicher Zufall aber er hätte doch die Höhe h erst in Abhängigkeit von r bestimmen sollen und dabei wäre er dann wohl auf h=r gekommen
22.05.2007, 12:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
und da ich ein guter mensch bin, habe ich angenommen, dass DV genau das getan hat, denn mit $\begin{eqnarray} h³-3rh²+2r³=0 \end{eqnarray}$ ist es ja nicht allzu schwer, die lösung h = r zu erraten. (und die beiden anderen lösungen kommen geometrisch nicht in frage)
22.05.2007, 13:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ganze erinnert mich irgendwie an die typische Herleitung des Halbkugelvolumens mittels des Prinzips von Cavalieri. Wenn man nämlich die Halbkugel vom Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ als auf ihrem Grundkreis liegend annimmt und daneben den Zylinder, der durch einen Kegel mit Spitze auf dem Boden ausgehöhlt ist, stellt (Grundkreisradius und Höhe jeweils $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ), so haben beide Körper in gleicher Höhe $\begin{eqnarray} x, \, 0 \leq x \leq r, \end{eqnarray}$ gleichgroße Schnittflächen $\begin{eqnarray} A(x) = \pi \left( r^2 - x^2 \right) \end{eqnarray}$ , sind also nach Cavalieri volumengleich. Schneidet man bei beiden Körpern in gleicher Höhe den unteren Teil ab, so verbleibt auf der einen Seite ein Kugelsegment, sagen wir der Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ , und auf der anderen Seite ein Zylinder der Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ , aus dem ein Kegelstumpf der Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ entfernt wurde. Das Volumen dieses Körpers läßt sich durch Subtraktionen von Volumina leicht ermitteln, so daß man auf der anderen Seite daraus die Formel für das Kugelsegment erhält: $\begin{eqnarray} V_{\mbox{Segment}} = V_{\mbox{Zylinder der Höhe} \ h} - V_{\mbox{Kegelstumpf der Höhe} \ h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = V_{\mbox{Zylinder der Höhe} \ h} - \left( V_{\mbox{Kegel der Höhe} \ r} - V_{\mbox{Kegel der Höhe} \ r - h} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{3} \, \pi \, r^2 h - \left( \frac{1}{3} \, \pi \, r^3 - \frac{1}{3} \, \pi \, (r-h)^3 \right) = \frac{1}{3} \, \pi \, h^2 \left( 3r - h \right) \end{eqnarray}$ In dieser Aufgabe erscheint mir der Sachverhalt merkwürdig auf den Kopf gestellt. Ob DarthVader die Aufgabenstellung vollständig und korrekt wiedergegeben hat?
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22.05.2007, 21:36	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
servus, falls ihr hier nochmal vorbeischaut, wollte ich mich noch ma für eure anregungen bedanken @riwe: ja genau so hab ich h=r berechnet denn die anderen lösungen machen geometrisch keinen sinn (dies war aber nur eine bestätigung der aufgabenstellung) anschließend in die gegebenen formeln eingesetzt und erkannt das diese äquivalent zueinander sind, dies gilt jedoch nur wenn h=r ist (die aufgabenstellung habe ich aus meiner hausarbeit entnommen und wurde genauso gestellt)

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