Trigonometrische Funktionen

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21.05.2007, 20:11	Gast54	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Funktionen Hallo, ich habe mal wieder eine Aufgabe bekommen, bei der ich leider überhaupt keine Ahnung habe, wie ich sie angehen könnte.. ;-( Seien $\begin{eqnarray} \alpha , \beta und \gamma \end{eqnarray}$ die Innenwinkel eines Dreiecks. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} sin^{2}(\alpha ) + sin^{2}( \beta )+ sin^{2}( \gamma )- 2cos(\alpha )cos(\beta )cos(\gamma )=2 \end{eqnarray}$ Ich habe leider gar keinen Ansatz wie ich an diese Aufgabe ran gehen kann.. Wäre über ein paar hinweise sehr dankbar... MFg Chris
21.05.2007, 20:22	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst würde ich z.B. gamma durch alpha und beta ausdrücken, denn über die Innenwinkel weißt du $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma = \pi \end{eqnarray}$ . Danach kommst du wahrscheinlich mit Additionstheoremen weiter. mfg 20
21.05.2007, 21:21	Gast54	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ok, habe es versucht, also ich habe nun $\begin{eqnarray} \gamma = \pi - (\alpha + \beta ) \end{eqnarray}$ , dass habe ich dann für Gamma eingesetzt. Nun dachte ich, dass ich als erstes versuche das quadrat wegzubekommen und habe die Formel $\begin{eqnarray} sin^{2}( \alpha )=\frac{1}{2} (1 - cos(2 \alpha )) \end{eqnarray}$ verwendet. Mit dieser habe ich dann alle sinus umgewandelt. Dann habe ich damit weitergerechnet und ersteinmal das vorhandende soweit wie es geht zusammen zufassen, dabei bin ich dann auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} 3- cos(2\alpha )- cos(2\beta )- cos(\pi - (\alpha +\beta ))- 4cos(\alpha )cos(\beta )cos(\pi - (\alpha +\beta ))=4 \end{eqnarray}$ Nun habe ich versucht auf verschedene Arten weiter zurechnen, aber ich bekomme immer wieder ein Quadrat mit rein und bleibe wieder stecken.. Habe ich bis jetzt schon etwas falsch gemacht?? danke nochmal.. MFG Chris
21.05.2007, 21:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob's falsch ist, hab ich nicht überprüft. Allerdings sieht das ganze etwas planlos aus, d.h., wenig zielführend - man sollte doch versuchen, die Anzahl der verschiedenen Terme möglichst zu reduzieren. Jetzt noch die Winkelfunktionen der doppelten Innenwinkel ins Spiel zu bringen geht nicht gerade in diese Richtung... Eine andere Idee: Nehmen wir mal eine Reihe äquivalenter Umformungen vor - zunächst mal $\begin{eqnarray} \sin^2(\gamma)=1-\cos^2(\gamma) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + 1 - \cos^2(\gamma) - 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \stackrel{?}{=} 2 \end{eqnarray}$ Die 1 subtrahieren, kann man dann rund um $\begin{eqnarray} \cos(\gamma) \end{eqnarray}$ kann man jetzt eine ganz nette quadratische Ergänzung vornehmen: $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) - \left[ \cos(\gamma) + \cos(\alpha)\cos(\beta) \right]^2 + \cos^2(\alpha)\cos^2(\beta) \stackrel{?}{=} 1 \end{eqnarray}$ Schauen wir uns dann mal den Term in $\begin{eqnarray} [\ldots]^2 \end{eqnarray}$ an unter Berücksichtigung des Kosinus-Additionstheorems $\begin{eqnarray} \cos(\pi-(\alpha+\beta)) + \cos(\alpha)\cos(\beta) = -\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha)\cos(\beta) = \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray}$ , und setzen das entsprechend oben ein: $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) - \sin^2(\alpha)\sin^2(\beta) + \cos^2(\alpha)\cos^2(\beta) \stackrel{?}{=} 1 \end{eqnarray}$ Und das nun noch nachzuweisen ist fast ein Kinderspiel...
22.05.2007, 14:35	Gast54	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur Dent, vielen Dank für deine ausführliche Antwort.. Verstehe was du meinst, mit sehr planlos... ;-) Also ich kann deine Schritte soweit alle nachvollziehen, nur versteh ich die quadratische Ergänzung nicht, was du da gemacht hast. Wäre nett, wenn du mir das noch erklären könntest.. Den Rest denke ich könnte ich alleine schaffen, werde aus auf jedenfall probieren.. Schonmal vielen Danke.. MFG Chris
22.05.2007, 14:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Ergänzung ist - quadratische Ergänzung (9.Klasse oder so): $\begin{eqnarray} x^2+2px = (x+p)^2-p^2 \end{eqnarray}$ Im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray} x=\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p=\cos(\alpha)\cos(\beta) \end{eqnarray}$ .
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22.05.2007, 16:20	Gast54	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, ja nen Brett vorm Kopf.. Aber wenn ich das so mache, müsste dann nicht in der Klammer ein Minus stehen und hinten auch ein Minus, weil die Ergänzung muss ja wieder abgezogen werden?!?!Oder habe ich da auch wieder einen Fehler???
22.05.2007, 16:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, so wie ich es oben benutzt habe, steht ein generelles Minus vor der gesamten Gleichung, d.h. $\begin{eqnarray} -x^2-2xp = -(x+p)^2+p^2 \end{eqnarray}$ Aber soweit sollte man schon mitdenken.
22.05.2007, 16:53	Gast54	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, ja nen bisschen mehr den Kopfanschalten wäre schon nicht schlecht..Aber bei solchen Aufgaben gebe ich immer schnell auf, leider.. Aber ich habe es nun raus, den rest meine ich... Habe alles Sinus-Terme in diese Form $\begin{eqnarray} \sin^2(\gamma)=1-\cos^2(\gamma) \end{eqnarray}$ gebracht und dann haben die sich alle aufgelöst und es stand dann 1=1 da.. Vielen dank für deine geduldige Hilfe... MFG Chris

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