Aproximation eines komischen Integrals

22.05.2007, 13:56

chris21

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Aproximation eines komischen Integrals

Ich habe hier ein problem mit einem komischen Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi 4}~[arcsin x]^2~dx \end{eqnarray*}$

2 Fragen hab ich dazu

1. Bei der Obergrenze steht pi über der 4(formal). Kann ich daher annehmen das die Obergrenze $\begin{eqnarray*} 4\cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist?

2. Wie gebe ich arcsin in meinen Taschenrechner ein ist das vielleicht sin^-1

Vielen Dank im Vorraus

22.05.2007, 14:03

WebFritzi

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RE: Aproximation eines komischen Integrals

Zitat:

Original von chris21
1. Bei der Obergrenze steht pi über der 4(formal). Kann ich daher annehmen das die Obergrenze $\begin{eqnarray*} 4\cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist?

Wie jetzt? So?

$\begin{eqnarray*} 4^\pi \end{eqnarray*}$

Oder so?

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix}\pi\\4\end{matrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von chris21
Vielen Dank im Vorraus

voraus

22.05.2007, 14:04

sqrt(2)

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RE: Aproximation eines komischen Integrals

Zitat:

Original von chris21
1. Bei der Obergrenze steht pi über der 4(formal). Kann ich daher annehmen das die Obergrenze $\begin{eqnarray*} 4\cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist?

Nein. Der Arkussinus ist nur für Werte zwischen -1 und 1 definiert. Es wird vermutlich $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ gemeint sein.

Zitat:

Original von chris21
2. Wie gebe ich arcsin in meinen Taschenrechner ein ist das vielleicht sin^-1

Ja.

22.05.2007, 14:15

chris21

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Es steht $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ich denke das stimmt ist leider sehr schlechte Druckqualität.

Vielen Dank

22.05.2007, 14:20

Lazarus

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Wieso eigentlich Approximation ? Dat Ding geht doch zu integrieren verwirrt

verwirrt

Zweimal Partiell und der Käse ist gegessen ...

22.05.2007, 15:46

chris21

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Naja wenn gefragt wird...

Die Aufgabe heisst

Mit dem SImpson-Verfahren berechne man eine Näherung für das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi }{4} }~[arcsinx]^2~dx \end{eqnarray*}$

Schrittweite
$\begin{eqnarray*} h = \frac{\pi }{16} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme heraus 175.32

Gebe ich es in meinen Taschenrechner ein kommt 618,56 raus. Da kann doch irgendwas nicht stimmen

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22.05.2007, 16:01

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} I=\frac{\pi}{4}\left( \arcsin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) ^{2} - \frac{\pi}{2} +\frac{\sqrt {16-{\pi }^{2}}}{2}\arcsin \left( \frac{\pi}{4} \right) \approx 0.1884 \end{eqnarray*}$ wäre richtig... da kann was nicht stimmen.

22.05.2007, 16:03

chris21

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Bist du ganz sicher

22.05.2007, 16:04

Lazarus

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Ja.

Wie soll man mit solchen niedrigen Werten auf so ein "riesiges Integral" kommen ?

\\edit: Die Lösung oben ist über Stammfunktionen gelöst. Also integriert und dann Grenzen eingesetzt.
Das ist das genaue Ergebniss, da wirste durch iene Approximation nur annähernd hinkommen.

22.05.2007, 16:08

chris21

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Kannst du mir dann sagen wie man den arcsin in den Taschenrechner eingibt

Ich dachte es wäre sin^-1

denn wenn es das ist kommt bei mir bei deiner Variante 2206.321778 heraus

22.05.2007, 16:09

Dual Space

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Zitat:

Original von chris21
Mit dem SImpson-Verfahren berechne man eine Näherung für das Integral...

*verschoben*

22.05.2007, 16:13

Lazarus

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Stell mal bitte deinen Taschenrechner um von DEG auf RAD !

Wir haben da oben bisschen gerunden $\begin{eqnarray*} 0.6409-1.570+1.11831=0.18921 \end{eqnarray*}$

22.05.2007, 16:18

chris21

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Ist es allgemein so dass man bei trigonometrischen funktionen den Taschenrechner auf RAD umstellen muss?

22.05.2007, 16:22

Lazarus

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Also wenn du nicht "dringend" Gradangaben brauchst (z.b. Ana.Geo mit der Frage "Unter wieviel Grad schneiden sich zwei Ebenen") würde ich dir empfehlen in der Analysis sowieso immer Bogenmaßangaben zu verwenden.
Man gewöhnt sich auch sehr schnell dran, und dann isses leichter, weil übersichtlicher. Versprochen !

22.05.2007, 16:30

chris21

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Also mit der Simpson Regel bin ich auf 0.0534 gekommen

Kann es sein da dies nur eine Näherung ist und es deshalb das falsche Ergebnis ist??

Zur Erklärung Simpson-Regel:

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{3} \cdot (f(a) + 4f(\frac{b-a}{2} \cdot a) + f(b)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{\pi}{16} \end{eqnarray*}$

22.05.2007, 16:53

Lazarus

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Das wundert mich doch sehr.

Man hat doch $\begin{eqnarray*} f(x)=\arcsin^2(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Setzte man ein erhält man $\begin{eqnarray*} I=\frac{\pi}{48}\cdot \arcsin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx 0.044 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} \arcsin(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und hier steht die Simpson regel anders: mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{24} \end{eqnarray*}$ als Vorfaktor und anderem Mittelglied.

Mit dieser käme dann $\begin{eqnarray*} I=...\approx 0.298 \end{eqnarray*}$ raus.

22.05.2007, 16:56

chris21

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Und wie heisst die Simpson-Formel wenn h(schrittweite) schon gegeben ist?

22.05.2007, 16:59

Lazarus

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Meinst du, dass man nicht (wie in Wikipedia) eine Zwischenstation hat sondern (meinst du das mit Schrittweite) eben (hier) 2 ?

22.05.2007, 17:01

chris21

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Mit Schrittweite meine ich hier $\begin{eqnarray*} h=\frac{\pi}{16} \end{eqnarray*}$

22.05.2007, 17:07

Lazarus

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Naja sag ich ja. Da haste dann 2 Stützstellen + die Zwei Endpunkte 0 und Pi/4.

Ja da überleg mal ein bisschen, die Simpsonregel ist recht leicht zu verallgemeinern. Ich habe nicht vor dir alles vorzukaufen!

22.05.2007, 17:17

chris21

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Ich kann einfach keine Formel finden wo man h einsetzen kann bzw. verstehe ich die Formeln nicht wo man h einsetzen kann

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