Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln

22.05.2007, 15:57

Barney

Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln

Ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar:

http://img509.imageshack.us/img509/7299/fig1gk5.png

Die Ebene E schneidet die 1.,2. und 3. Achse in A, B bzw. C (siehe Bild). Berechnen Sie die Längen der Seiten und die Größen der Winkel des Dreiecks ABC für
a) $\begin{eqnarray*} E: 3x_1+5x_2+4x_3=30 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \vec{x} \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 14 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Brauche dringend Hilfe!
Wie löst man diese Aufgabe?

22.05.2007, 16:04

Lazarus

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Erstemal die Achsenabschnitte berechnen (Also die Punkte A, B und C)

Wie ging das doch schnell nochmal ? Achsenabschnittsform einer Ebene!

Dann schauen wir weiter..

22.05.2007, 16:05

riwe

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RE: Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln
a) bestimme die 3 spurpunkte
A(10/0/0) usw.
dann die beiden vektoren
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=(-10/6/0)^{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

damit hast du

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} \end{eqnarray*}$

und der rest geht genau so

22.05.2007, 17:43

Barney

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RE: Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Wink

Ich wusste vorher nicht wie man die Spurpunkte ausrechnet.
Aber jetzt hab ich sie: A(10/0/0), B(0/6/0), C(0/0/7,5)

So die Längen hab ich schon ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=11,66 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=9,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}=12,5 \end{eqnarray*}$

Nur die Winkel die ich rausbekommen habe sind wahrscheinlich falsch unglücklich

$\begin{eqnarray*} \alpha=133,31° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta=111,93° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma=117,38° \end{eqnarray*}$

22.05.2007, 19:05

riwe

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RE: Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln
da in einem dreieck die winkelsumme 180° beträgt, ist die wahrscheinlichkeit, dass deine winkel falsch sind $\begin{eqnarray*} p = 1 \end{eqnarray*}$ .

zumindest bei $\begin{eqnarray*} \alpha = 46.69° \end{eqnarray*}$ hast du den komplementärwinkel berechnet.

wenn du es so machst, wie ich es dir hingemalt habe, passiert dir dieses malheur nicht.
du mußt die vektoren so wählen, dass sie vom gemeinsamen punkt - hier A WEGzeigen.

22.05.2007, 19:15

Leopold

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RE: Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln

Zitat:

Original von riwe
da in einem dreieck die winkelsumme 180° beträgt, ist die wahrscheinlichkeit, dass deine winkel falsch sind $\begin{eqnarray*} p = 1 \end{eqnarray*}$ .

Mit solchen kühnen wahrscheinlichkeitstheoretischen Aussagen begibst du dich aber auf gefährliches Gebiet. Gleich werde ich dich an Arthur verpetzen! Der ist gerade so richtig in Stimmung ... Big Laugh

22.05.2007, 19:29

riwe

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RE: Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln
brrrrr, bitte nicht!
aber recht habe ich doch , oder verwirrt

werner

edit:
@leopold: das mit den vektoren habe ich übrigens bei dir gelernt,
das hast du seinerzeit hier im board geschrieben.
ich hoffe, es gilt noch

22.05.2007, 20:25

Barney

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RE: Aufgabe zum Thema: Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln
Das ein Dreieck eine Winkelsumme von 180° hat ist mir schon klar.

Ich habe meinen Fehler entdeckt!
Es war ein Vorzeichenfehler böse

da ich die Vektoren nicht so gewählt habe, dass sie vom gemeinsamen Punkt wegzeigen.

Jetzt habe ich die richtigen Winkel Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \alpha=46,69° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta=71,25° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma=62,06° \end{eqnarray*}$

danke nochmal an riwe Freude

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