Darstellungsmatrix berechnen

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Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix berechnen
Folgendes Problem:
Wir haben den Vektorraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 2 und eine Basis . Dann haben wir noch eine Abbildung von V nach V und die Abbildungsvorschrift ist p -> p' also die Ableitung.
Das Skalarprodukt ist gegeben durch


Die Aufgabe ist, die Darstellungsmatrix , also der adjungierten Abbildung, zu berechnen

Ich hatte folgenden Weg überlegt: Die Basis orthonormalisieren (mit Schmidt-Gram-Verfahren). Dann die Darstellungsmatrix von berechnen, diese transponieren (nach einem Satz unserer vorlesung gilt das) und dann mit Basistransformation wieder auf die ursprüngliche Basis zurückrechnen.
Das Problem an der Sache: Die Orthonormalbasis ist ZIEMLICH hässlich. Das gibt mir Grund zur Annahme, dass das Ganze auch anders funktionieren muss. Aber wie?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es seien



Dann folgt



Setze weiter



Du sollst ja jetzt berechnen für i = 0,1,2. Mit dem p wie oben gilt z.b.



Also muss gelten



Ein Quotientenvergleich mit (*) und das daraus resultierende Gleichungssystem bringt dich auf die richtigen 's. Die Matrix, die dabei herauskommt, ist die folgende:



Die Inverse davon lautet:

Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Danke erstmal für deine Antwort, hat mir einen guten Denkanstoß gegeben.
Hier mal mein Lösungsvorschlag, hoffe der stimmt.

Also es ist ja bekannt dass (*)

Wir wissen, dass die Darstellungsmatrix von <,> (alle Abbildungsmatrizen bzgl B, das spare ich mir jetzt, das immer zu erwähnen)

Außerdem (und das ist der Punkt, wo ich mir nicht sicher bin) ist die Darstellungsmatrix von


Es gilt nun

und


wegen (*) folgt dann doch


Da kann ich dann von links mit dem Inversen von mulriplizieren und erhalten dann das ergebnis

(falls ich mich nicht verrechnet habe)

Kann man das so lösen?
oder ist das irgendwo "unsauber"?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dunkit
Kann man das so lösen?
oder ist das irgendwo "unsauber"?


Nein, ich finde das richtig schön. Tanzen
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