Stetigkeit

22.05.2007, 21:08

SilverBullet

Stetigkeit

Nabend zusammen,

hab hier 4 Funktionen die ich auf Stetigkeit untersuchen muss.
Haben das Thema gerade angefangen und irgendwie steh ich da auf dem Schlauch wäre super wenn ihr mir bei einer Aufgabe davon helfen könntet.

Also ich soll die folgende Funktion auf Stetigkeit überprüfen :

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac 1 {x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Mehr war zwar auf dem Blatt nicht angegeben aber soweit ich weiß sollen wir davon ausgehen das für f(0,0) = 0 gilt ! Sonst wäre das ja irgendwie witzlos.

Also ich hab mir erstmal gedacht, dass die Funktion überall stetig ist bis auf in (0,0).
Um zu zeigen das sie in (0,0) nicht stetig ist würde ich einfach die Folge 1/n welche für n gegen unendlich ja gegen 0 konvergiert einsetzen und dann sieht man ja das da 1/0 steht und das darf ja nicht sein also nicht stetig in (0,0).

Mein Problem :

Wie zeige ich denn das die Funktion sonst überall stetig ist ?

Gruß
Marc

22.05.2007, 21:43

Calvin

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von SilverBullet
Um zu zeigen das sie in (0,0) nicht stetig ist würde ich einfach die Folge 1/n welche für n gegen unendlich ja gegen 0 konvergiert einsetzen und dann sieht man ja das da 1/0 steht

Zunächst mal: du brauchst zwei Folgen. Eine für den x-Wert und eine für den y-Wert. Nehmen wir mal für beide die Folge 1/n und setzen ein:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{1}{\left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{1}{n}\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{n^2}}=\frac{n^2}{2}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Der letzte Schritt war natürlich Blödsinn, da n gegen unendlich geht Hammer

Danke für die Korrektur

Nimm jetzt mal zwei andere (unterschiedliche) Folgen für x und y, die aber auch beide gegen 0 konvergieren. Kommt auch wieder 0 als Grenzwert raus?

22.05.2007, 21:49

kiste

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Geht n nicht gegen unendlich? Weil ich stimme Silver sonst einfach einmal zu, es hat nichts da um das 1/0 "aufzuhalten"

22.05.2007, 21:52

SilverBullet

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Sekunde mal du hast n gegen unendlich und das divergiert.. und da es dann nicht gegen 0 konvergiert ist es nicht stetig in 0 oder ?

Edit : Mega zu langsam unglücklich

22.05.2007, 22:00

Calvin

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Ups, da war ich ein bißchen zu voreilig Hammer

Du hast damit aber zwei Folgen gefunden, für die die Funktion nicht gegen 0 konvergiert. Deshalb kann sie an dieser Stelle nicht stetig sein.

Die Bedingung für Stetigkeit ist, dass für alle Folgenpaare der gleiche Grenzwert existiert und mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt.

22.05.2007, 23:18

SilverBullet

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Jo super dann hat das soweit geklappt.

Da ich aber alle stellen finden muss wo die Funktion nicht stetig ist muss ich doch noch zeigen, dass sie in allen anderen Stellen stetig ist oder ? Wie mache ich das ? Irgendwie eine Allgemeine Folge (xn) -> x wählen ?

22.05.2007, 23:42

sqrt(2)

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Eigentlich beweist man in dem Zusammenhang gleich den Satz "Ist $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} U\subseteq\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)\neq 0~\forall x\in U \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g} \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ."

23.05.2007, 01:20

SilverBullet

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Und ich kann das nur mit dem Satz nachweisen das es sonst überall stetig ist ?
Hmm da muss es doch noch nen anderen Weg gegebn oder ?

23.05.2007, 01:26

sqrt(2)

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Zitat:

Original von SilverBullet
Und ich kann das nur mit dem Satz nachweisen das es sonst überall stetig ist ?

Nein. Aber mit dem Satz geht es am einfachsten, denn erstens dürfte er in jeder Analysis-2-Vorlesung bewiesen werden und zweitens reicht dann eine kurze Referenz auf den Satz.

Zitat:

Original von SilverBullet
Hmm da muss es doch noch nen anderen Weg gegebn oder ?

Natürlich kannst du allgemein Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n),(y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)=(x,y) \end{eqnarray*}$ betrachten und dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x_n,y_n)\to f(x,y) \end{eqnarray*}$ .

23.05.2007, 01:38

SilverBullet

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Alles klaro ich danke dir dann hab ich jetzt 2 Möglichkeiten und dann sieht doch dann schon ganz gut aus Augenzwinkern

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