Integral berechnen

22.05.2007, 21:55

Gargy

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Integral berechnen

Hallo,

ich brauch schon wieder einen Schubser bei einer Aufgabe.

Und zwar möchte ich folgendes Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} F=\int \sqrt{1+tan²x} ~ dx \end{eqnarray*}$

Und zwar habe ich mir gedacht, dass ich einfach substituiere

$\begin{eqnarray*} tanx=sinhu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{cos²x}=coshu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{coshu}{cos²x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=arctan(sinhu) \end{eqnarray*}$

... aber das wird wohl zu kompliziert.

Dann dachte ich noch:

$\begin{eqnarray*} tanx=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{cos²x}=du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=cos²x \cdot du \end{eqnarray*}$

x=arctanu

Aber dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} F = \int \sqrt{1+u²} \cdot cos²(arctanu) ~du \end{eqnarray*}$

Sieht ja auch nicht viel besser aus. Hat jemand einen Vorschlag? Vielleicht einen ganz anderen Weg?

22.05.2007, 22:06

Calvin

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RE: Intergal berechnen
$\begin{eqnarray*} 1+\tan^2{x}=1+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}} \end{eqnarray*}$

Weiter gehts dann mit der Substitution u=tan(x/2)

22.05.2007, 22:08

Harry Done

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RE: Intergal berechnen
Einfach mit $\begin{eqnarray*} u=tan(x) \end{eqnarray*}$ substituieren und dann mit Grundintegralliste das entstandene Integral lösen.

22.05.2007, 22:13

Calvin

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Oh Mann, ich sollte für heute ins Bett gehen. Harrys Lösung ist natürlich viel einfacher als meine.

Gute Nacht Schläfer

Schläfer

23.05.2007, 08:41

Gargy

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RE: Intergal berechnen

Zitat:

Original von Gargy
Hallo,

ich brauch schon wieder einen Schubser bei einer Aufgabe.

Und zwar möchte ich folgendes Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} F=\int \sqrt{1+tan²x} ~ dx \end{eqnarray*}$

Und zwar habe ich mir gedacht, dass ich einfach substituiere

$\begin{eqnarray*} tanx=sinhu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{cos²x}=coshu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{coshu}{cos²x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=arctan(sinhu) \end{eqnarray*}$

... aber das wird wohl zu kompliziert.

Dann dachte ich noch:

$\begin{eqnarray*} tanx=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{cos²x}=du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=cos²x \cdot du \end{eqnarray*}$

x=arctanu

Aber dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} F = \int \sqrt{1+u²} \cdot cos²(arctanu) ~du \end{eqnarray*}$

Sieht ja auch nicht viel besser aus. Hat jemand einen Vorschlag? Vielleicht einen ganz anderen Weg?

edit// wie kam das denn hier rein? sorry, da hab ich wohl irgendwas merkwürideiges veranstaltet. jedenfalls sollte das hier nicht nochmal erscheinen.

23.05.2007, 08:43

klarsoweit

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RE: Intergal berechnen
Und warum zitierst du deinen eigenen Beitrag in kompletter Länge? verwirrt

verwirrt

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23.05.2007, 08:44

Gargy

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Hm, das habe ich ja schon probiert, komme da aber auf so einen merkwürdigen verschachtelten Ausdruck

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F = \int \sqrt{1+u²} \cdot cos²(arctanu) ~du \end{eqnarray*}$

Wie löst man sowas?

23.05.2007, 09:05

kiste

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$\begin{eqnarray*} cos^2(\arctan u) = \frac{1}{1+u^2} \end{eqnarray*}$

23.05.2007, 09:16

klarsoweit

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RE: Intergal berechnen

Zitat:

Original von Gargy
$\begin{eqnarray*} tanx=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{cos²x}=du \end{eqnarray*}$

Für die Ableitung der tan-Funktion gibt es noch einen anderen Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 1 + (tan(x))^2 \end{eqnarray*}$

Das erspart auch die nicht sofort ersichtliche Formel von kiste.

23.05.2007, 09:50

Gargy

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Ooooh, ich glaube, ich verstehe beide formeln nich. wie komme ich auf deine, klarsoweit?

23.05.2007, 10:08

Calvin

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Schau mal in meine erste Antwort Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2007, 10:32

Gargy

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ok, ja. aber tan(arctan(x)) ist doch wieder x, oder?

Also $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{1+x²} \end{eqnarray*}$ ?

23.05.2007, 10:37

Gargy

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ach so, dann bleibt also

$\begin{eqnarray*} F= \int \frac{1}{\sqrt{1+u²}} ~ du = arsinh(u) \end{eqnarray*}$

richitg?

23.05.2007, 10:52

klarsoweit

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Ja.

Noch eine kleine Korrektur:

Zitat:

Original von Gargy
Also $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{1+x²} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{1+u^2} \end{eqnarray*}$

23.05.2007, 11:00

Gargy

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ach ja, da hab ich eben nicht mitgedacht... aber wenn's jetzt stimmt Tanzen

Tanzen

23.05.2007, 13:43

Gargy

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wer denken kann, ist klar im vorteil. ich stell mich aber auch an manchmal... danke für die hilfe

Gott

Gott

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