Polynom VR

22.05.2007, 22:23

MrMilk

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Polynom VR

Hallo,

ich habe eine ganz tolle Aufgabe, bin mir aber nicht ganz sicher wie ich sie angehen kann. Da zu habe ich foglendes gegeben:

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die Menge der Polynome vom Grad höchstens $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ in einer Unbestimmten x mit komplexen Koeffizienten, d.h, $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x]=\{a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0|a_i \in \mathbb C 1 \le i\le n\} \end{eqnarray*}$ .
Es soll nun gezeigt werden, dass die Meinge M = $\begin{eqnarray*} \{1,x^1,x^2,...,x^n\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist. Es gilt als gegeben, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ um einen VR handelt.

Leider bekomme ich grade keinen Ansatz hin.

Meine Ideen bis jetzt war einen Widerspruch zu führen, in dem ich annehme, dass die Menge M linear abhängig ist. Somit komme ich auf folgendes:

Sei y Element welches linear abhängig ist.

$\begin{eqnarray*} D := M ohne y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{v\in D} \lambda _i \cdot v= y \end{eqnarray*}$

Meine erste Frage ist, ob das mit dem $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ so korrekt ist, das es nicht in Abhänigigkeit von der Summe steht...

Auf jeden Fall möchte ich hieraus folgern, dass dieses so zu einem Widerspruch kommt.

Kann mir jemand hierzu einen Tipp geben? Oder wird so etwas ganz anders bewiesen?

Viele Grüße
-- MrMilk

22.05.2007, 23:12

therisen

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Hallo,

diese Aussage ist so grundlegend/offensichtlich, dass es fast schon schwierig ist, diese zu beweisen. Wie habt ihr die Monome denn eingeführt?

Man identifiziert ja $\begin{eqnarray*} X^i \end{eqnarray*}$ üblicherweise mit der Folge $\begin{eqnarray*} (\delta_{in})_{n\in\mathbb N_0} \end{eqnarray*}$ . Bei dem Beweis der linearen Unabhängigkeit läuft das somit im Wesentlichen auf die Gleichheit der $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -Tupel $\begin{eqnarray*} (\lambda_0, \dots, \lambda_n)=(0,\dots,0) \end{eqnarray*}$ hinaus. Diese ist nur für $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ ) gegeben.

Gruß, therisen

22.05.2007, 23:32

MrMilk

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Hallo theriesen,

Monome haben wir noch nicht eingeführt. In einer späteren Teilaufgabe von dieser Aufgabe wird einmal kurz erklärt was ein Monom ist und etwas soll damit bewiesen werden, allerdings haben wir diese zu diesem Zeitpunkt noch nicht.

Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich es ohne Monome machen kann?
Leider muss ich auch zugeben, dass es mir nicht so offensichtlich ist traurig

traurig

Viele Grüße
-- MrMIlk

22.05.2007, 23:36

therisen

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Was habt ihr denn vorher schon so alles über Polynome bewiesen?

Identitätssatz (-> Koeffizientenvergleich)? Einsetzungshomomorphismus?

22.05.2007, 23:42

MrMilk

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Leider haben wir bis jetzt noch nicht allzuviel damit gemacht. Wir haben seit letzter Woche mit der Linearen Algebra begonnen und das war die erste aufgabe dazu.

Leider sagen mir auch all deinen Begriffe ncihts. Kann man es ohne diese lösen?

Viele Grüße
-- MrMilk

22.05.2007, 23:45

WebFritzi

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Setze $\begin{eqnarray*} p_i(x) := x^i \end{eqnarray*}$ für i = 0,1,...,n. Es seien $\begin{eqnarray*} \mu_1,\dots,\mu_n\in\mathbb{C}\;\text{ mit }\;\sum_{i=0}^n \mu_i p_i = 0. \end{eqnarray*}$ Dann folgt ja

$\begin{eqnarray*} (*)\quad\sum_{i=0}^n \mu_i x^i = 0 \;\text{ für alle }\; x\in\mathbb{R}. \end{eqnarray*}$

Setze x = 0 in (*). Es folgt $\begin{eqnarray*} \mu_0 =0 \end{eqnarray*}$ . Teile nun den Ausdruck in (*) durch x. Das geht für alle x ungleich Null. Usw...

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23.05.2007, 08:28

MrMilk

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Guten Morgen,

leider ist mir eine Sache noch nicht ganz klar. So wie ich das sehe sind die Elemente $\begin{eqnarray*} x^0,...,x^n \end{eqnarray*}$ Vektoren. Da liege ich doch richtig, oder?

Aber wie kann du dann diesen Vektoren einen Wert aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zuweisen?
Wäre super, wenn du mir dazu noch ein zwei Sätze schreiben könntest...

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 10:36

WebFritzi

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Im Vektorraum P_n[x] sind das Vektoren, ja. Aber gerade mit der Bedeutung, eine bestimmte Funktion zu sein.

Schau... Nimm dir z.B. den Vektorraum C[0,1] aller stetiger Funktionen auf [0,1]. Die lemente sind natürlich alles Vektoren in C[0,1], weil das ja schließlich ein Vektorraum ist. Andererseits kannst du mir jetzt nicht erzählen, dass das keine Funktionen sind, in die ich z.B. die Null einsetzen kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2007, 13:23

MrMilk

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Hallo,

ich glaube nun habe ich langsam den dreh bei dieser Aufgabe raus.
Vermutlich war mir nicht ganz klar, was therisen mit "Koeffizientenvergleich" meinte.

Nun würde ich dieses so beweisen:

Wir wissen dass eine Polynomfunktion ihre Koeffizienten eindeutig bestimmt.

Somit gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~{\lambda _i \cdot x^i} = 0(\star),\lambda _i \in \mathbb C, 0\le i\le n \end{eqnarray*}$ nur, wenn für alle $\begin{eqnarray*} \lambda _i= 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Hier aus können wir folgern, dass der Nullvektor nur durch die triviale Nullkombination darstellbar ist. Somit folgt, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} {x^0, x^1,...,x^{n-1},x^n} \end{eqnarray*}$ linear von einander unabhängig sind.
$\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ Die Null steht vertretend für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}~{x^i\cdot \lambda _i} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda _i = 0+0i \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist.

Könntet ihr diesem so zustimmen?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 13:35

WebFritzi

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Ja, du scheinst es verstanden zu haben.

23.05.2007, 13:58

MrMilk

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Cool, Vielen Dank :-)

Angenommen ich möchte nun zeigen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ noch um eine Basis handelt, dann müsste ich noch zeigen, dass es sich bei der Menge $\begin{eqnarray*} {x^0,...,x^n} \end{eqnarray*}$ um ein Erzeugendensystem handelt. Könntest du mir da auch noch weiterh helfen?

Leider habe ich bis jetzt noch nicht oft gezeigt, dass es sich um ein ES handelt.

Allgemein weiß ich, dass für diese Aufgabe gelten muss, dass ich jedes beliebige Element aus $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ mit passenden Skalaren $\begin{eqnarray*} \lambda _i \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ darstellen können muss. Also $\begin{eqnarray*} v\in \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest, sprich $\begin{eqnarray*} v=\sum_{x\in M}~x\cdot \lambda _i\biggm| 1\le i\le n AND\lambda _i\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Kannst du mir hier eine Tipp geben, ob dieses am besten per Widerspruch gezeigt wird? Oder kann ich hier auch die eindeutige Darstellungsweise von Polynomfunktionen nutzen?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 14:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} v=\sum_{x\in M}~x\cdot \lambda _i \end{eqnarray*}$ .

Das ist Quark. Merkst du, warum?

23.05.2007, 16:52

MrMilk

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Puh, leider nein :-(

Könntest du mir sagen wieso? So wie ich es sehe, handelt es sich doch um eine LK, oder?

Aber ich habe auch einen neuen Ansatz:

Könnte ich es wie folgt beweisen:

Wir wissen laut Definition, dass der VR eine maximale Dimension von n+1 haben kann. Hinzu ist, bekannt, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{x^0,...,x^n\} \end{eqnarray*}$ linear von einander unabhängig sind. Nach Defintion von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ wissen wir auch, wie die LK für ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ aussieht, somit können wir auch sagen, dass M ein ES von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ mit entsprechend gewählten Koefizeiten ist.

Wäre dieses so okay?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 17:45

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Könntest du mir sagen wieso? So wie ich es sehe, handelt es sich doch um eine LK, oder?

Komische Summe, bei der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ fest ist...

23.05.2007, 17:54

MrMilk

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Doh', jetzt sehe ich es auch *bekomme_einen_roten_kopf"

$\begin{eqnarray*} v=\sum_{i=0}^{|M|}~x_i\cdot \lambda _i\biggm| x_i\in M \end{eqnarray*}$ . Wäre es so in Ordnung? Oder muss ich noch für das $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ erst extra eine Menge bauen und eventuell eine Funktion zwischen den beiden erstellen?

Bzw. könntest du mir kurz sagen, ob meine zweite Idee so richtig ist?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 17:59

therisen

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Warum schreibst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} v=\sum_{i=0}^n \lambda_i x^i \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du voraussetzen darfst, dass $\begin{eqnarray*} \dim\mathcal{P}_n[x] \leq n+1 \end{eqnarray*}$ , dann bist du bereits fertig, wenn du die lineare Unabhängigkeit deiner Vektoren $\begin{eqnarray*} 1,x,\dots, x^n \end{eqnarray*}$ gezeigt hast.

Gruß, therisen

23.05.2007, 18:04

MrMilk

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Hallo therisen,

habe ich dieses hier nicht getan:

Zitat:

Wir wissen laut Definition, dass der VR eine maximale Dimension von n+1 haben kann. Hinzu ist, bekannt, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{x^0,...,x^n\} \end{eqnarray*}$ linear von einander unabhängig sind. Nach Defintion von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ wissen wir auch, wie die LK für ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ aussieht, somit können wir auch sagen, dass M ein ES von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$ mit entsprechend gewählten Koefizeiten ist.

Oder habe ich da grade etwas übersehen? Die lineare Unabhängigkeit habe ich bewiesen und "WebFritzi" meinte der Beweis wäre auch so okay.

Also sollte es doch so stimmen, oder?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 18:14

therisen

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Ja, ich wollte dich nur darauf hinweisen, dass das trivial ist und ganz allgemein gilt.

Übrigens: Die Formulierung "linear von einander unabhängig" klingt furchtbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

23.05.2007, 22:35

MrMilk

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Hallo therisen,

wäre "linear unabhängig" besser?

Hinzu hätte ich noch einen Frage, bezüglich der Definition von einem VR.

Um zu zeigen, dass es ein VR ist muss auch gelten $\begin{eqnarray*} 1\cdot v=v=v\cdot 1\biggm| v\in \mathcal P _n[x] \end{eqnarray*}$

Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich das Element wählen würde?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 22:58

therisen

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Ja, klingt besser. Du kannst doch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ einfach als LK deiner Basis darstellen.

Gruß, therisen

23.05.2007, 23:16

MrMilk

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Hallo therisen,

das meine ich jetzt nicht so ganz.

So wie ich das grade sehe muss die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sein oder? Und meine Frage ist nun, ob ich das wie folgt darstellen würde:

$\begin{eqnarray*} 1:=\sum_{i=0}^n~a_i\cdot x^i \biggm|\underset{1\le i\le n}{a_i:=1+0i} \end{eqnarray*}$

Oder muss ich die 1 gar nicht als LK darstellen?

Viele Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 23:31

therisen

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Die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist einfach die $\begin{eqnarray*} 1\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ . Schließlich hat man ja $\begin{eqnarray*} \mathbb C\subset\mathbb C[X] \end{eqnarray*}$ (Ringerweiterung).

23.05.2007, 23:36

MrMilk

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Bestimmt übersehe ich grade eine Kleinigkeit, aber so wie ich das kenne, gibt es nicht so einfach $\begin{eqnarray*} 1\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Zumindest vermute ich dieses, weil ich keinen nur Zahlen mit Real und Imaginärteil. Oder hast du einfach gesagt, dass der Imaginärteil = 0 ist?

Vielel Grüße
-- MrMilk

23.05.2007, 23:53

therisen

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$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist doch ein Erweiterungskörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , d.h. die Eins aus R ist die Eins in C.

Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterungsk%C3%B6rper

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