Umkehrfunktion & Ableitung

23.05.2007, 00:09

TommyJ

Umkehrfunktion & Ableitung

N'abend, habe folgendes Problem:

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2*Pi*x + sin(Pi * x)

Nun soll ich den Wert der Ableitung der Umkehrfunktion von f(x) an der Stelle f(1) bestimmen.

Als Hinweis wurde angegeben, dass es nicht nötig ist die Umkehrfunktion selbst zu bestimmen.
Durch einen anderen Aufgabenteil ist die Ableitung f'(x) gegeben.
Da kam ich auf: f'(x) = Pi * (2+cos(Pi * x))

Meine erste Frage wäre: Ist die Ableitung einer Umkehrfunktion das selbe wie die Umkehrfunktion einer Ableitung?

Ich bin einfach mal davon ausgegangen und hab die Umkehrfunktion der Ableitung bestimmt und kam auf:
f^-1(x) = (arccos((x/Pi) -2)) / Pi

Wenn ich dort allerdings für x die 1 einsetze komm ich auf kein Ergebnis, da der arccos ja nur von [-1,1] definiert ist.

Hat jemand nen Tipp, was ich falsch mache?

23.05.2007, 00:29

sqrt(2)

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RE: Umkehrfunktion & Ableitung

Zitat:

Original von TommyJ
Meine erste Frage wäre: Ist die Ableitung einer Umkehrfunktion das selbe wie die Umkehrfunktion einer Ableitung?

Nein. Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(x)=2 \end{eqnarray*}$ . f' ist nicht umkehrbar, aber die Ableitung der Umkehrfunktion existiert: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$

(mach dir das mal grafisch klar). Wegen $\begin{eqnarray*} x=f(1) \end{eqnarray*}$ kannst du es dir sparen, die Umkehrfunktion zu bestimmen.

23.05.2007, 00:44

TommyJ

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RE: Umkehrfunktion & Ableitung
Danke für die schnelle Hilfe!
Das erklärt natürlich, warum ich mit meinen Ansätzen nicht weiter komme.
Werd dann mal mit deinen Tipps weitertüfteln, allerdings ist mir der folgende Zusammenhang nicht ganz klar:

Zitat:

Original von sqrt(2)
Wegen $\begin{eqnarray*} x=f(1) \end{eqnarray*}$ kannst du es dir sparen, die Umkehrfunktion zu bestimmen.

23.05.2007, 00:54

sqrt(2)

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Setz mal dieses x in die rechte Seite des gegebenen Zusammenhangs ein.

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