Beweis mithilfe des Skalarprodukts

23.05.2007, 14:54

Musti

Beweis mithilfe des Skalarprodukts

Hallo

,

Eine Raute ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Beweisen Sie mithilfe des Skalarproduktes:

a) In einer Raute sind die Diagonalen zueinander orthogonal.
b) Sind die Diagonalen eines Parallelogramms zueinander orthogonal, dann ist es eine Raute.

Mein Ansatz:

zu a) Ich kennzeichne die Seitenlängen mit a.

Dann muss gelten.

$\begin{eqnarray*} 2\vec{a}\cdot 2 \vec{a}=4 \vec{a}^2=0 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun fortfahren?

Danke

23.05.2007, 15:01

sqrt4

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RE: Beweis mithilfe des Skalarprodukts
Ich weiß nicht wie du darauf kommst!

Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} 2\vec{a}\cdot 2 \vec{a}=4 \vec{a}^2=0 \end{eqnarray*}$

Zudem ist $\begin{eqnarray*} \vec{a}^2>0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ nicht der Nullvektor ist.

Ich würd für 2 sich berührende Seiten 2 Vektoren einführen. Mit denen dann die Diagonalen ausdrücken und dann das Skalarprodukt bilden.

23.05.2007, 15:04

riwe

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RE: Beweis mithilfe des Skalarprodukts
nenne die von A wegzeigenden vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , dann hast du zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0 \end{eqnarray*}$

was nicht weiter schwer sein dürfte, wenn dü berücksichtigst, dass beide vektoren "gleich lang" sind.

23.05.2007, 15:26

Musti

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RE: Beweis mithilfe des Skalarprodukts
Hmm...

Das müsste dann so aussehen.

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+ \vec{b})\cdot ( \vec{a}- \vec{b})= \vec{a}^2-\vec{b}^2=0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \vec{a}= \vec{b} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \vec{a}^2-\vec{b}^2=0 \end{eqnarray*}$ und wäre somit bewiesen verwirrt

zu b)

Da bin ich auch ratlos. Nennen wir die Diagonalen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ uns es gilt $\begin{eqnarray*} \vec{d}\cdot \vec{e}=0 \end{eqnarray*}$

Ich denke ich muss $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ mit den Seiten ausrücken.

Da habe ich für $\begin{eqnarray*} \vec{c}= \vec{a}- \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{d}= \vec{a}+ \vec{b} \end{eqnarray*}$ . Ist das soweit richtig?

23.05.2007, 15:36

sqrt4

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ich will ja nicht pingelich sein, aber $\begin{eqnarray*} \vec{a}\neq \vec{b} \end{eqnarray*}$

Wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} |\vec{a}|= |\vec{b}| \end{eqnarray*}$ .

zu b) ja stimmt schon.

23.05.2007, 15:39

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Die zweite Frage ist bloß die Umkehrung der 1. !

23.05.2007, 15:41

Musti

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Das mit der Genauigkeit ist schon ok smile

Es liegt nur in meinem Interesse alles genau zu machen.

So der Rest von b) ist wie bei a).

Danke

23.05.2007, 16:03

riwe

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Zitat:

Original von sqrt4
ich will ja nicht pingelich sein, aber $\begin{eqnarray*} \vec{a}\neq \vec{b} \end{eqnarray*}$

Wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} |\vec{a}|= |\vec{b}| \end{eqnarray*}$ .

zu b) ja stimmt schon.

dem ist 100%-ig zuzustimmen Freude

wäre sonst eine sehr, sehr schmale raute Big Laugh

und ersteres ist falsch, zweites richtig,
also keineswegs pingelig

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