h-methode

23.05.2007, 17:29

XxXdie-juleXxX

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h-methode

ich habe mal eine frage an euch:
die h-methode ist doch nur der beweis für die erste ableitung oder?
und wie funktioniert das eigentlich mit dieser h-methode? ich habe die formel $\begin{eqnarray*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$ aber was gebe ich für a und h ein, also für welche zahlen steht das?

23.05.2007, 17:38

tmo

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mit hilfe der h-methode berechnest du die ableitung an der stelle a

es ist
$\begin{eqnarray*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

beispiel für f(x) = x^2

$\begin{eqnarray*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{2ah+h^2}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} 2a+h = 2a \end{eqnarray*}$

23.05.2007, 17:45

XxXdie-juleXxX

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danke, aber das wüsste ich schon ich will wissen wie ich das anwende, also wenn ich irgendeine funktion f(x) habe muss ich die mit dieser h-methode ausrechnen können oder? und mir ist nicht klar was ich wo einsetzte und so also was ich für a einsetzt und für h

23.05.2007, 18:01

mYthos

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Ich verstehe deine neuerliche Frage nicht. tmo hat dir das sogar an einem Beispiel gut veranschaulicht! Darin ist die Vorgangsweise vollständig enthalten. Das muss nun nur noch auf andere Funktionen übertragen werden. Wenn du dies also ohnehin schon weisst - was ist dir daran noch unklar?

P.S.: Nachträglich sehe ich doch noch etwas, was einer Erklärung bedarf! Anfangs sollte bei der Funktion statt a üblicherweise das x beibehalten werden. Das Ergebnis der Grenzwertberechnung ist dann die Ableitungsfunktion f'(x) und erst beim Aufsuchen der Stelle x = a, an der der Wert der 1. Ableitung (Steigung der Tangente an der Stelle a) bestimmt werden soll, ist diese Stelle einzusetzen und somit erhält man:

1. Ableitung bzw. Ableitungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} lim \ldots = \frac{\dd f(x)}{\dd x} = f'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m(a) = f'(a) \end{eqnarray*}$

mY+

23.05.2007, 18:43

XxXdie-juleXxX

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danke. ich habs verstanden habe mir noch mal das von tmo angesehen und mit ein wenig ausprobieren auch verstanden. danke Big Laugh

Big Laugh

23.05.2007, 19:04

system-agent

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na dann machs mal für $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ...

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23.05.2007, 19:26

XxXdie-juleXxX

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ok, anscheinend doch nicht verstanden
also für a setze ich eins ein aber was mache ich mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ? ich dachte das würde so aussehen aber dann kann ich ja nix mehr kürzen oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{(1+h)+1/2x-1}{h} \end{eqnarray*}$

23.05.2007, 20:14

Rare676

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nein es wäre:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} \end{eqnarray*}$

23.05.2007, 20:18

tmo

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kleiner tipp, wie du vorgehen musst:
im zähler den hauptnenner bestimmen und bilden, und dann die brüche subtrahieren.
danach kannst du zusammenfassen und kürzen.

23.05.2007, 20:47

XxXdie-juleXxX

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danke an euch alle
ich schau mir das heute noch mal an und morgen noch mal
hoffe ich werde es wirklich richtig verstehen
danke für eure hilfe Freude

Freude

24.05.2007, 08:26

klarsoweit

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RE: h-methode

Zitat:

Original von XxXdie-juleXxX
ich habe mal eine frage an euch:
die h-methode ist doch nur der beweis für die erste ableitung oder?

Auch hier offenbart sich eine gewisse Verständnisschwäche. Es handelt sich weder um eine Methode noch um einen Beweis, sondern um die Definition der Ableitung, wie sie üblicherweise verwendet wird. Diese nochmal in aller Ausführlichkeit:

Ist eine Funktion f in einer Umgebung von a definiert und existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$ , dann
heißt f an der Stelle a differenzierbar und der eben genannte Grenzwert wird mit f'(a) bezeichnet.

Entscheidend dafür ist erstmal, daß man mit Funktionen umgehen kann. Dazu gehört auch, daß man zu einem gegebenen Funktionsterm f(x) beispielsweise die Ausdrücke f(0), f(1), f(hugo), f(a) oder f(a+h) hinschreiben kann.

Erst im nächsten Schritt kann man sich an die Berechnung des oben genannten Grenzwertes heranmachen.

25.11.2007, 14:11

Venus²

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RE: h-methode
Wenn dieser Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray*}$ nicht existiert, dann ist die Funktion an der Stelle a ja nicht differenzierbar.
Das will ich für die Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|x^2-1| \end{eqnarray*}$ zeigen.
Dazu habe ich die Funktion erst mal anders notiert:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\geq1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$

Die Differenzierbarkeit möchte ich erst mal für x=-1 untersuchen. Ich bilde also den linksseitigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{(-1+h)^2-1-((-1)^2-1)}{h}=\lim_{h \to 0}~\frac{-2h+h^2}{h}=-2 \end{eqnarray*}$

und den rechtsseitigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{-(-1+h)^2+1-(-(-1)^2+1)}{h}=\lim_{h \to 0}~\frac{2h-h^2}{h}=2 \end{eqnarray*}$

Anderes Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=-x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Linksseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{-(x+h)-(-x)}{h}=\lim_{h \to 0}~\frac{-h}{h}=-1 \end{eqnarray*}$

Rechtsseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{x+h-x}{h}=\lim_{h \to 0}~\frac{h}{h}=1 \end{eqnarray*}$

=> Beide Betragsfunktionen sind nicht differenzierbar.

So, lalala^^ Jetzt habe ich mir die Antwort auf meine Frage schon selber während des Schreibens gegeben... Aber weil ich mir jetzt schon mal die Mühe gemacht hab un das alles aufgeschrieben hab, schick ichs trotzdem weg, vielleicht hilft das ja nochmal jemandem weiter.

Aber falls trotzdem irgendwas falsch sein sollte, dann bitte antworten.

lg, Anne-So

25.11.2007, 14:32

klarsoweit

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RE: h-methode

Zitat:

Original von Anne-So 5
Die Differenzierbarkeit möchte ich erst mal für x=-1 untersuchen. Ich bilde also den linksseitigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{(-1+h)^2-1-((-1)^2-1)}{h}=\lim_{h \to 0}~\frac{-2h+h^2}{h}=-2 \end{eqnarray*}$

Im Prinzip alles ok. Da du hier aber eine konkrete Stelle betrachtest, kannst du ohne Probleme den Term mit Betragsstrichen nehmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{(-1+h)^2-1- |(-1)^2-1|}{h} \end{eqnarray*}$

25.11.2007, 14:34

neon]microstar

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RE: h-methode
Woher weiß man denn, für welche Teilfunktion x = 1 bzw. (-1) definiert ist? x liegt doch bei beiden Funktionen auf deren Graphen oder? Könnte man auch
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\geq1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1\leq x \leq1 \end{eqnarray*}$
schreiben?

25.11.2007, 15:41

klarsoweit

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RE: h-methode
Im Prinzip ja, allerdings gilt einmal die Ungleichung mit Gleichheitszeichen und einmal die echte Ungleichung. Man sollte sich dazu die Definition des Betrages mal genauer anschauen.

25.11.2007, 15:42

Venus²

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Anne-So 5
Die Differenzierbarkeit möchte ich erst mal für x=-1 untersuchen. Ich bilde also den linksseitigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{(-1+h)^2-1-((-1)^2-1)}{h}=\lim_{h \to 0}~\frac{-2h+h^2}{h}=-2 \end{eqnarray*}$

Im Prinzip alles ok. Da du hier aber eine konkrete Stelle betrachtest, kannst du ohne Probleme den Term mit Betragsstrichen nehmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{(-1+h)^2-1- |(-1)^2-1|}{h} \end{eqnarray*}$

Okay, danke. Was ist denn mathematisch eleganter?^^ So, wie du es aufgeschrieben hast?

25.11.2007, 15:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anne-So 5
So, wie du es aufgeschrieben hast?

Würde ich so sehen. Ich meine, der SUmmand |(-1)² - 1| ist eh nicht negativ. Daher macht das Vertauschen der Vorzeichen auch keinen großen Sinn.

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