Radius einer Kugel

13.01.2005, 21:06

jog23

Radius einer Kugel

Hallo,
hoffe jemand kann mir helfen.

Habe eine Kugel mit M(3;6;-4) und eine Tangentialebene mit:
2x -2y -z = 10 gegeben. Gesucht der Radius r?

Irgendwelche Tipps oder Ansätze?

Danke im Voraus

13.01.2005, 21:08

Leopold

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Lege einmal eine Orange auf den Tisch. Wo liegt ihre Mitte M über dem Tisch?

14.01.2005, 16:57

jog23

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Radius einer Kugel
Das ist mir klar das der Abstand der Ebene zum Mittelpunkt der Kugel der Radius ist. Aber mir der Formel: Abstand eines Punktes zur Ebene komm ich nicht weiter...

14.01.2005, 17:43

Leopold

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Und wo liegt die Schwierigkeit?

14.01.2005, 17:50

merlin25

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Also man nehme eine Formel aus einem Buch.

z. B. diese:

Abstand eines Punktes von einer Ebene

$\begin{eqnarray*} d=\frac{\mid \vec{n} \cdot (\vec{r}_Q -\vec{r}_1) \mid }{\mid \vec{n} \mid } \end{eqnarray*}$

d ist der gesuchte Abstand

Q ist der Punkt mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (in der Formel $\begin{eqnarray*} \vec{r}_Q \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \vec{r}_1 \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ist der Normalenvektor

kommst Du jetzt weiter?

14.01.2005, 18:46

Jog23

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Radius einer Kugel
Das ist mir auch soweit klar. Aber wie bekomme ich einen Ortsvektor von dieser Ebene?

14.01.2005, 18:59

Mathespezialschüler

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Verschoben

14.01.2005, 19:05

Eisloeffel

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RE: Radius einer Kugel

Zitat:

Original von Jog23
Das ist mir auch soweit klar. Aber wie bekomme ich einen Ortsvektor von dieser Ebene?

Indem du in deine Ebenengleichung willkürliche x,y,z Werte einsetzt und zwar so, dass deine Gleichung aufgeht.

14.01.2005, 19:26

Leopold

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RE: Radius einer Kugel

Zitat:

Original von Jog23
Das ist mir auch soweit klar. Aber wie bekomme ich einen Ortsvektor von dieser Ebene?

Wozu denn?

Du kannst doch den Abstand von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zur Ebene einfach mit der Hesseschen Normalform berechnen.

$\begin{eqnarray*} E: \ \ 2x - 2y - z = 10 \end{eqnarray*}$

auf HNF bringen:

$\begin{eqnarray*} 2x -2y - z - 10 = 0 \qquad \text{Glieder auf einer Seite} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left( 2x -2y - z - 10 \right) = 0 \qquad \text{normiert} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} r = \left| \frac{1}{3} \left( 2 \cdot 3 - 2 \cdot 6 - (-4) - 10 \right) \right| \end{eqnarray*}$

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