Abbildungsmatrizen

24.05.2007, 15:36

Bjoern1982

Abbildungsmatrizen

Hallo

Folgende Aufgabe wurde von einem Korrektor als falsch angestrichen und ich würde gerne wissen warum Augenzwinkern

Gegeben sei

f : R³ ----> R² mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} x_1+2x_2 \\ x_2-3x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g:R^2-->R^4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} x_1+2x_2 \\ 0 \\ 0 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe:

Berechne die zu f,g und $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ gehörigen Matrizen bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} S=\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ des R³, der Basis $\begin{eqnarray*} T=\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ des R² und der Standardbasis U des $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} g \circ f =\begin{pmatrix} x_1+4x_2-6x_3 \\ 0 \\ 0 \\ x_1+2x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_f= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_g= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 & \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{g \circ f}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre nett wenn da mal jemand drüber schauen könnte smile

Gruß Björn

25.05.2007, 09:58

klarsoweit

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RE: Abbildungsmatrizen

Zitat:

Original von Bjoern1982
$\begin{eqnarray*} A_f= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, hast du die Matrix nicht bezüglich der Basis T gebildet.

25.05.2007, 18:10

Bjoern1982

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Ok, ich muss die Basis T wählen weil der Bildraum von f zweidimensional ist oder ?

Muss ich dann die x3-Koordinate null setzen oder hat das was mit Transformationen zu tun ?

Gruß Björn

25.05.2007, 19:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Ok, ich muss die Basis T wählen weil der Bildraum von f zweidimensional ist oder ?

Nein, weil das so in der Aufgabe steht.

26.05.2007, 15:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Ok, ich muss die Basis T wählen weil der Bildraum von f zweidimensional ist oder ?

Nöö. Weil die Basis T nun einmal so vorgegeben ist und da übliche Verfahren so ist, daß man in die Abbildungsmatrix die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren bezüglich der Basis des Bildraums als Spalten einträgt.

Also konkret: du mußt als erstes f((0 0 1)) berechnen und das in der Basis T darstellen. Das ist dann die 1. Spalte der Abbildungsmatrix .

27.05.2007, 19:05

Bjoern1982

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Lautet dann $\begin{eqnarray*} A_f \end{eqnarray*}$ so ?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1,5 & 0 & 0,5 \\ -1,5 & -2 & -2,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

27.05.2007, 20:17

klarsoweit

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Ja.

27.05.2007, 20:42

Bjoern1982

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Dank dir, mit deiner Erklärung war dann alles klar smile

Fällt doch in den Bereich Koordinatentransformation oder ?

Müsste ich in dem Fall wenn eine bestimmte Abbildungsmatrix bezüglich einer bestimmten Basis gegeben ist und man nun die Abbildungsmatrix bezüglich einer anderen Basis berechnen soll genauso vorgehen und jeden Spaltenvektor der Ausgangsmatrix durch eine Linearkombination der neuen Basis darstellen ?

Ich meine mich zu erinnern dass in solchen Fällen die Inverse noch eine Rolle spielt oder ?

Gruß Björn

27.05.2007, 23:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Müsste ich in dem Fall wenn eine bestimmte Abbildungsmatrix bezüglich einer bestimmten Basis gegeben ist und man nun die Abbildungsmatrix bezüglich einer anderen Basis berechnen soll genauso vorgehen und jeden Spaltenvektor der Ausgangsmatrix durch eine Linearkombination der neuen Basis darstellen ?

Nicht ganz. Du musst den Spaltenvektor in Bezug auf die alte Basis sehen. Diese ist halt nicht notwendig die Standard-Basis. Wenn sie aber die Standard-Basis ist, dann ist es so, ja.

28.05.2007, 00:11

Bjoern1982

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Und wenn sie es nicht wäre ?

28.05.2007, 00:19

WebFritzi

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Zitat:

Original von WebFritzi
Du musst den Spaltenvektor in Bezug auf die alte Basis sehen.

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