Implizite Funktion -- stimmt das?

24.05.2007, 18:45	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktion -- stimmt das? Hallo noch mal. Ich sitze wiederum hinter etwas, das sich mir noch nicht so voll erschlossen hat. Es handelt sich um implizite Funktionen und wann man den Satz von der impliziten Funktion anwenden kann und ob ich den Satz korrekt anwende! Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: IR^2 \to IR \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y) = (x^2+y^2)^2 - 2(x^2-y^2) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} M = {(x,y) \in IR^2: f(x,y) = 0} \end{eqnarray}$ , d.h. das ist die Menge der Punkte auf denen die Fuinktion "definiert" ist. Für welche Punkte kann ich jetzt den Satz der impliziten Funktion anwenden? So wie ich die Voraussetzungen verstanden habe, muss doch sein: $\begin{eqnarray} (x,y) \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} det(f_y(x,y)) \neq 0) \end{eqnarray}$ Ich hab jetzt als erstes mal $\begin{eqnarray} f_y(x,y) \end{eqnarray}$ bestimmt. $\begin{eqnarray} f_y(x,y) = 4y(x^2+y^2) + 4y \end{eqnarray}$ . Das ist ja sozusagen eine 1x1 Matrix, dann ist die Determinate also das gleiche. Der Einfachheit halber schau ich: $\begin{eqnarray} det(f_y(x,y)) = 4y(x^2+y^2) + 4y = 0 \end{eqnarray}$ . Das ist wahr für alle (x,0), und es gibt noch eine komplexe Lösung. D.h. ich kann sagen, das für alle Paare (x,y) mit y=0, ich den Satz von der impliziten Funktion nicht anwenden kann. Für alle anderen Punkte, also für die Menge $\begin{eqnarray} M ={(x,y) \in IR^ : f(x,y) = 0 , y \neq 0} \end{eqnarray}$ Das heißt jetzt kann ich mich daran machen eine Funktion g zu finden, mit $\begin{eqnarray} f(x,g(x)) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x,y) \neq 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y \neq g(x) \end{eqnarray}$ . Jetzt fang ich an ein wenig wackeliger auf den Beinen zu sein. Ich habe jetzt also ein Paar $\begin{eqnarray} (x,y) \in M* \end{eqnarray}$ Wenn ich das richtig verstanden habe, dann gilt für g'(x): $\begin{eqnarray} g'(x) = -\frac{\partial f}{\partial y} (x,g(x))^{-1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))\; \end{eqnarray}$ Damit hab ich doch: $\begin{eqnarray} f(x,g(x)) = (x^2+g(x)^2)^2 - 2(x^2-g(x)^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))^{-1} = \frac{1}{4g(x)(x^2+g(x)^2) + 4g(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x)) = 4x(x^2+g(x)^2) - 4x \end{eqnarray}$ Aber was sagt mir das jetzt genau aus? Meine Menge, auf der diese Funktion g definiert ist soll doch nur eine Umgebung sein? Aber die Menge M ist doch relativ groß! Was sagt ihr zu den Schritten? Vielen dank und grüße hmer
24.05.2007, 20:31	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktion -- stimmt das? na ja, soweit stimmt das doch alles, was du da so geschrieben hast. wenn du einen punkt aus der menge $\begin{eqnarray} M^ \end{eqnarray}$ nimmst, dann findest du nach dem satz über die implizite funktion eine umgebung um eben diesen punkt, und eine funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , definiert in dieser umgebung, so dass du $\begin{eqnarray} F(x,y) \end{eqnarray}$ lokal (in dieser umgebung) nach y auflösen kannst, also $\begin{eqnarray} y=g(x) \end{eqnarray}$ . das gilt nat. nun im allgemeinen nicht mehr auf ganz $\begin{eqnarray} M^* \end{eqnarray*}$ , sondern nur in der umgebung!
25.05.2007, 12:37	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo orakel, wenn ich das richtig verstehe kann ich durch nullsetzen von g'(x) von diesem "impliziten" funktionen nun auch die extremas bestimmen. aber woran erkenne ich, dass für die x, für die das dann löse auch noch in der umgebung um x liegen? gruß hmer
25.05.2007, 12:49	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du extrema bestimmen willst, würde ich doch einfach von der funktion F den gradienten bilden, also die partiellen ableitungen nach x bzw. y und diese dann jeweils null setzen. dann erhälst du zunächst alle kritischen punkte von F, welche unter umständen extrema sein können, unabhängig von irgendeiner umgebung.
26.05.2007, 21:14	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo Matheorakel :-) grins -- vielleicht kannst du mir ja auch sagen, ob ich die klausur bestehe :-) Nein, aber spass beiseite. eigentlich müsste ich doch durch g'(x) = 0 setzen, kandidaten für lokale extrema finden? Die sind dann aber abhängig von g(x). wenn ich das so mache, dass ich F(x,y) ableite und dort die kandidaten für extremwerte bestimme, dann muss ich doch noch schauen, ob diese Punkte in der Menge M* vertreten sind, oder?
27.05.2007, 19:21	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, jetzt haben wir aneinander vorbeigeredet. wenn du alle punkte bestimmen willst, in denen der anstieg der tangente an die kurve gerade null ist, so hast du folgende 2 gleichungen zur verfügung 1. $\begin{eqnarray} \partial_xF(x,y)=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} F(x,y)=0 \end{eqnarray}$ daraus sollten sich alle relevanten punkte $\begin{eqnarray} (x^,y^) \end{eqnarray}$ berechnen lassen. zusätzlich musst du dann noch zeigen , dass für die von dir berechneten punkte gilt: $\begin{eqnarray} \partial_yF(x^,y^)\neq 0 \end{eqnarray}$ . diese letzte eigenschaft sichert dir, dass die punkte nicht in der menge $\begin{eqnarray} M^ \end{eqnarray*}$ liegen.
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