Gradient eines Skalarproduktes

24.05.2007, 21:41	lollo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient eines Skalarproduktes Hallo! Ich soll grad<x,Ax> berechnen. x ist Vektor aus V und A eine lineare Abbildung. Wie soll das gehen ??? ich weiß ja nich wie <x,Ax> aussieht, dann kann ich das doch auch nich komponentenweise ableiten....
24.05.2007, 21:48	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt ist bilinear. Du kannst die Produktregel verwenden.
24.05.2007, 21:56	Lollo	Auf diesen Beitrag antworten »
dann wäre doch zB die erste Zeile des Gradienten gegeben durch: $\begin{eqnarray} grad<x,Ax>=<\frac{d}{dx_1}x,Ax> + <x,\frac{d}{dx_1}Ax> \end{eqnarray}$ Wie rechne ich sowas denn aus???
25.05.2007, 10:31	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal die Produktregel: Sei $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ bilinear, dann ist $\begin{eqnarray} \mathrm{d}\beta(f_1(x),f_2(x))h=\beta(\mathrm{d}f_1(x)h,f_2(x))+\beta(f_1(x),\mathrm{d}f_2(x)h) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ musst du nun die jeweilige Richtung einsetzen, in die du eben ableitest. $\begin{eqnarray} \mathrm{d}(Ax)=A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=Ex \end{eqnarray}$ übrigens.

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