Alternativsatz

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donkarabelas Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativsatz
Hi!

Hab folgenden Alternativsatz zu zeigen.

Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) Das System hat keine Lösung
(b) Das System hat eine Lösung


Könnte mir irgendwer ein paar Tipps geben wie man das beweist?

lg
elias
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist A? und x?
mfG 20
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du schon irgendeinen anderen Alternativsatz, etwa das Farkas-Lemma? Meistens beweist man einen Alternativsatz, und folgert dann andere aus diesem. Eventuell geht man auch von einem Trennungssatz aus (etwa daß für zwei disjunkte konvexe Mengen im R^n eine Hyperebene existiert, so dass die Mengen auf verschiedenen Seiten liegen), und nutzt diesen dann zum Beweis von Alternativsätzen durch Konstruktion geeigneter konvexer Mengen.

Dein konkreter Satz sollte in der Literatur unter "Alternativsatz von Stiemke" oder "Satz von Stiemke" zu finden sein. Der üblichste Weg ist es, den sehr viel allgemeineren Transpositionssatz von Motzkin zu beweisen, von dem der Satz von Stiemke dann neben anderen klassischen Alternativsätzen einfach ein Spezialfall ist.

Ein direkter Beweis fällt mir erstmal nicht ein. Es sollte mich aber wundern, wenn du den Satz komplett selber beweisen sollst, ohne noch irgendeinen starken Satz dafür zur Verfügung zu haben. Sicher könnte man mit ein bißchen Aufwand beispielsweise den Beweis des Transpositionssatzes imitieren/umschreiben, für den braucht man aber imho auch wieder das Farkas-Lemma usw.. Der Transpositionssatz ist quasi "Standard" wenn lineare Ungleichungssysteme behandelt werden, was meist in Vorlesungen zur Linearen Optimierung passiert. Er sollte mitsamt Beweis in diversen Skripten im Netz zu finden sein, wenn du das wirklich versuchen willst.

(Naiv könnte man jedenfalls sagen: So trivial kanns nicht sein, sonst hätte der Satz keinen Namen. Wobei es auch zu dieser Regel Ausnahmen gibt.)
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