Identitätssatz

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tigerteufel Auf diesen Beitrag antworten »
Identitätssatz
Hallo,

ich soll mit Hilfe des Identitätssatzes zeigen,ob f(z)=sin(z^), g(z)=sin(|z|) und h(z)=(sin(z^))^
holomorph sind oder nicht. wobei ^ komplex konjugieren heissen soll

Ich weiss das g(z) nicht holomorph ist und h(z) holomorph ist, habe aber keine Ahnung wie ich das zeigen soll.

Habt ihr vielleicht ne Idee.

Danke
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zu g habe ich in einem Buch eine Aufgabe gefunden: Man zeige, dass jede auf einem zusammenhängenden Bereich definierte holomorphe, reellwertige Funktion konstant ist.

Zu f und h: Zeigen anhand der Potenzreihendarstellung des Sinus, dass gilt



Damit haste sofort, dass h holo ist und kannst mit obigem Satz und einem Widerspruch schließen, dass f nicht holo sein kann (betrachte |sin z|²).

EDIT: Wo hier der Identitätssatz eine Rolle spielen soll, sehe ich allerdings nicht.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Man zeige, dass jede auf einem zusammenhängenden Bereich definierte holomorphe, reellwertige Funktion konstant ist.

Und das soll stimmen? verwirrt

Was ist denn mit ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Bereich ist in der Funktionentheorie eine offene Menge. Einen zusammenhängenden Bereich nennt man auch "Gebiet".
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh/glaub ich trotzdem nicht so recht. Ich könnte ja auf einen solchen Bereich einschränken.


PS. Aber in der Funktionentheorie versteh ich so manches nicht. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Versteh/glaub ich trotzdem nicht so recht. Ich könnte ja auf einen solchen Bereich einschränken.

Dann ist die Funktion aber nicht mehr reellwertig. Mit "offen" ist übrigens die Topologie in C gemeint - nicht die in R!
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

OK ... das hab ich gefressen. Freude
tigerteufel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das mit der Potenzreihendarstellung kann ich zeigen, aber wie komme ich damit jetzt darauf das f nicht holomorph ist???

Ich blick da nicht durch

und was soll ich mit |sin z|^2 machen?


Hilfe!!!!!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wie kann man denn |w|² darstellen durch w und w^ ?
tigerteufel Auf diesen Beitrag antworten »

Ist denn |sin z|^2 holomorph? bis auf das ist mir das klar, wie es dann geht und h folgt ja mehr oder weniger daraus, das krieg ich dann hin.

und wie kann ich bei g vorgehen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, nochmal:

Es gelten:

(1) f auf zusammenhängendem Bereich holo und reellwertig ==> f konstant

(2)

(3)


Zu h: Die Holomorphie folgt direkt aus (2).

Zu g: Nimm an, g wäre holomorph (natürlich auf ganz C) und benutze (1), um einen Widerspruch zu erhalten.

Zu f: Nimm an, f wäre holomorph (natürlich auf ganz C). Benutze (3) um zu zeigen, dass dann auch |sin z|² holomorph ist. Dann benutze (1), um einen Widerspruch zu erhalten.


EDIT: Natürlich musst du noch (1) beweisen. Das geht aber ganz einfach über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: Sei f : C -> C, u := Re(f), v := Im(f), z = x + iy. Genau dann ist f holomorph, wenn gilt



Wenn f jetzt reellwertig ist, dann ist v = 0. Also...
tigerteufel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habs jetzt.

Danke
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi

EDIT: Wo hier der Identitätssatz eine Rolle spielen soll, sehe ich allerdings nicht.


Vermutlich ist der Identitätssatz für Potenzreihen gemeint, den man beim Verglecih der beiden von dir vorgeschlagenen Reihen benötigt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, den braucht man hier nicht.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi

Zu f und h: Zeigen anhand der Potenzreihendarstellung des Sinus, dass gilt




Und wie geht das dann? Also ganz exakt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt



Also folgt

Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

OK, Identitätssatz war irgendwie doch andersrum. Hätte mal lieber die Finger stillhalten sollen, man soll nich schneller tippen als man denken kann.

Wie ging der Spruch nochmal?

"Woher soll ich die Lösung kennen, bevor ich gelesen hab, was ich schreibe."
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