Identitätssatz |
25.05.2007, 11:49 | tigerteufel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Identitätssatz ich soll mit Hilfe des Identitätssatzes zeigen,ob f(z)=sin(z^), g(z)=sin(|z|) und h(z)=(sin(z^))^ holomorph sind oder nicht. wobei ^ komplex konjugieren heissen soll Ich weiss das g(z) nicht holomorph ist und h(z) holomorph ist, habe aber keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Habt ihr vielleicht ne Idee. Danke |
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25.05.2007, 12:13 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu g habe ich in einem Buch eine Aufgabe gefunden: Man zeige, dass jede auf einem zusammenhängenden Bereich definierte holomorphe, reellwertige Funktion konstant ist. Zu f und h: Zeigen anhand der Potenzreihendarstellung des Sinus, dass gilt Damit haste sofort, dass h holo ist und kannst mit obigem Satz und einem Widerspruch schließen, dass f nicht holo sein kann (betrachte |sin z|²). EDIT: Wo hier der Identitätssatz eine Rolle spielen soll, sehe ich allerdings nicht. |
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25.05.2007, 12:21 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das soll stimmen? Was ist denn mit ? |
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25.05.2007, 12:22 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Bereich ist in der Funktionentheorie eine offene Menge. Einen zusammenhängenden Bereich nennt man auch "Gebiet". |
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25.05.2007, 12:24 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Versteh/glaub ich trotzdem nicht so recht. Ich könnte ja auf einen solchen Bereich einschränken. PS. Aber in der Funktionentheorie versteh ich so manches nicht. |
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25.05.2007, 12:30 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist die Funktion aber nicht mehr reellwertig. Mit "offen" ist übrigens die Topologie in C gemeint - nicht die in R! |
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25.05.2007, 12:34 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK ... das hab ich gefressen. |
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25.05.2007, 12:37 | tigerteufel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das mit der Potenzreihendarstellung kann ich zeigen, aber wie komme ich damit jetzt darauf das f nicht holomorph ist??? Ich blick da nicht durch und was soll ich mit |sin z|^2 machen? Hilfe!!!!! |
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25.05.2007, 13:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, wie kann man denn |w|² darstellen durch w und w^ ? |
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25.05.2007, 13:11 | tigerteufel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist denn |sin z|^2 holomorph? bis auf das ist mir das klar, wie es dann geht und h folgt ja mehr oder weniger daraus, das krieg ich dann hin. und wie kann ich bei g vorgehen? |
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25.05.2007, 13:23 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, nochmal: Es gelten: (1) f auf zusammenhängendem Bereich holo und reellwertig ==> f konstant (2) (3) Zu h: Die Holomorphie folgt direkt aus (2). Zu g: Nimm an, g wäre holomorph (natürlich auf ganz C) und benutze (1), um einen Widerspruch zu erhalten. Zu f: Nimm an, f wäre holomorph (natürlich auf ganz C). Benutze (3) um zu zeigen, dass dann auch |sin z|² holomorph ist. Dann benutze (1), um einen Widerspruch zu erhalten. EDIT: Natürlich musst du noch (1) beweisen. Das geht aber ganz einfach über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: Sei f : C -> C, u := Re(f), v := Im(f), z = x + iy. Genau dann ist f holomorph, wenn gilt Wenn f jetzt reellwertig ist, dann ist v = 0. Also... |
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25.05.2007, 13:58 | tigerteufel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich habs jetzt. Danke |
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25.05.2007, 19:55 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vermutlich ist der Identitätssatz für Potenzreihen gemeint, den man beim Verglecih der beiden von dir vorgeschlagenen Reihen benötigt. |
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25.05.2007, 20:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, den braucht man hier nicht. |
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25.05.2007, 20:13 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie geht das dann? Also ganz exakt? |
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25.05.2007, 20:27 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gilt Also folgt |
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25.05.2007, 20:52 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, Identitätssatz war irgendwie doch andersrum. Hätte mal lieber die Finger stillhalten sollen, man soll nich schneller tippen als man denken kann. Wie ging der Spruch nochmal? "Woher soll ich die Lösung kennen, bevor ich gelesen hab, was ich schreibe." |
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