Orthogonale Abbildungen

25.05.2007, 13:03

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

Orthogonale Abbildungen

Hallo liebe Forummitgleider, brauche dringend Hilfe bei einem Satz:

Seien V,W zwei euklidische/unitäre VR. Für eine lineare Abbildung a:
V-->W sind folgende Aussagen äquivalent:

1) a ist orthogonal bzw. unitär
2) Aus |v| =1 folgt stets |av| =1
3) Für alle v element V gilt |v| = |av|
4) Bilder von Orthonomalsystemen unter a sind wieder Orthonomalsysteme.

wie beweis ich diesen satz? ich weiß bereits dass 1) impliziert wiederum 2) .......und 2) ist ja eigentlich logisch da eine orthogonale Abbildung ja sowas wie eine Drehung bzw. Spiegelung ist und diese ist ja längentreu....aber wie beweise ich den rest?

Würde mich über Hilfe freuen,

25.05.2007, 13:09

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
In a) steckt ja die Definition drin. Wie lautet diese genau?

Edit:

Die verlinkte von Wiki greift wohl schon etwas weit voraus. Besser wäre es einen Punkt zu nehmen, und als Bemerkung zu zeigen, dass die anderen dazu äquivalent sind. So sollst Du das wohl machen. Aber um Dir helfen zu können, brauche ich Eure Definition.

25.05.2007, 13:28

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
Ja das steht in der Definition schon drinnen, aber dachte dass es zu zeigen gilt, das die 4 aussagen äqivalent sind, dh. 4) --> 1) aber wie beweise ich dies? bzw. wie zeige ich das auch aus 3) --> 4) usw...?????

25.05.2007, 13:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen

Zitat:

Ja das steht in der Definition schon drinnen

Was steht drin. Ich möchte von Dir wissen, wie ihr orthogonale Matrizen definiert habt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2007, 13:43

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
"V und W seien euklidisch bzw. unitär. eine lin. abb. a: V -> W ist orthogonal bzw. unitär wenn für je 2 v,v` element V gilt: (av)(av`)= vv`..... " von Matritzen war in der Definition nicht die rede.... aber danke schon mal

25.05.2007, 13:51

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
Ja wie hängen denn Matrizen und lin. Abbildungen zusammen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ich aus deinen Klammern - (av) was ist das? - nicht so ganz schlau werde, nehme ich mal eine andere:

Definition: gemäß Fischer S. 199

Sei V ein euklidischer (unitäter) Vektorraum, und sei F ein Endomorphismus auf V. F heißt orthogonal, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} <F(v),~F(w)> = <v,w> \quad \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$

<,> bezeichne das Skalarpodukt.

Zwischenschritt:

Zeige dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} ||F(v)|| = ||v|| \end{eqnarray*}$

Anzeige

25.05.2007, 14:00

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
Meine Klammern bezeichnen ebenfalls das skalarprodukt, wurde bei uns nur anders definiert. Was ich bisher weiß, ist dass eine Abb. orthogonal ist, wenn das Skalarprodukt je zweier vektoren gleich dem skalaprodukt der bilder dieser vektoren sind.

den zwischenschritt den du mir gegeben hast ist ja eigentlich der beweis von 3)!!!

25.05.2007, 14:09

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
Bekomme ich denn für den ZwS auch mal einen Beweis? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2007, 14:13

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
naja, unsere Frage ist ja wie wir 3) denn nun beweisen sollen?? wir wissen, dass 2) impliziert 3)! aber wie beweise ich das nun???

25.05.2007, 14:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
ich habe von Dir hier noch keinen Beweis irgendeiner Aussage gesehen. Eine Formulering "ist klar" werde ich mal nicht zählen lassen. Bislang steht nur 1) fest, da es die Definition ist.

Die Reihenfolge der Einträge in der Äquivalenzkette ist für eine Beweisführung uneerheblich. Man kann auch 1 <=> 3 zeigen. Dazu wollte ich von dir erstmeinmal die Richtung 1 => 3 wissen. Wäre es möglich darauf eine Antowrt zu bekommen?

In einem euklidischen (unitären) Vektrraum definiert man ja ||.|| wie folgt:

$\begin{eqnarray*} ||v||:= \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$

25.05.2007, 14:56

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen
also gut:

2 impliziert 3, denn für 0 ungleich v element von V gilt:

|av| = |a(|v| v/|v|)| sprich ich erwietere mit |v| daraus folgt:
|v| a (v/|v|) hier ist die frage darf ich v-norm einfach aus der klammer herausziehen und wenn ja wieso?? --> |v||v/|v|| = |v| aber wieso fällt jetzt a weg???
hab schon ansätze wie das ganze funktionieren könnte aber da ich LineareAlgebraII noch nicht komplett gehört habe, fällt mir das ganze eben noch relativ schwer, ist ja nicht so dass ich ich von dir den beweis hören will um meine übungen zu bestehen bin schon am verständnis interessiert.....DANKE

25.05.2007, 15:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale Abbildungen

Zitat:

LineareAlgebraII noch nicht komplett gehört habe

Deswegen bohre ich ja auch so genau Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wie gesagt, ich wollte von Dir hören (1) => (3) und nicht (2) =>(3) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir kommen dann schon noch zur Antwort für deinen Zettel.
****************************************************

$\begin{eqnarray*} (1) \Rightarrow (3) \end{eqnarray*}$

Sei F ein orthogonaler Endomorphismus auf dem Eukl. (unitären) VR V. Dann gilt nach Definition (1):

$\begin{eqnarray*} <F(v),~F(w)> = <v,w> \quad \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$

Also auch:

$\begin{eqnarray*} <F(v),~F(v)> = <v,v> \quad \forall v \in V \end{eqnarray*}$

Mit der Definition des Skalarprodukts:

$\begin{eqnarray*} ||v||:= \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$

folgt nun:

$\begin{eqnarray*} ||F(v)|| = \sqrt{<F(v),F(v)} = \sqrt{<v,v>} = ||v|| \end{eqnarray*}$

Und damit ist (1) => (3) beweisen. Der Beweis ist zwar trivial, aber dennoch solltest Du so etwas ausschreiben, gerade wo es für Dich Neuland ist.

*****************************************************

Nächste Aufgabe: (1) => (2) aufschreiben. Versuch doch mal den Editor zu verwenden. Danke Wink

Wink

25.05.2007, 15:10

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst |v| rausziehen, weil a linear ist, d.h., es gilt a(tv) = t*av!

$\begin{eqnarray*} |av| = \left|a\left( |v|\frac{v}{|v|} \right)\right| = |v|\left|a\left( \frac{v}{|v|} \right)\right| = |v| \end{eqnarray*}$ .

@tigerbine: Die schreiben das Skalarprodukt von v und w einfach als vw.

EDIT: Ich würde hier 1->2->3->1 und 1<->4 vorschlagen, denn 1->2->3 ist billig und 4<->1 ist auch recht einfach. Bleibt nurnoch 3->1. Das ist der schwierigste Part der Aufgabe.

25.05.2007, 15:14

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

@ WebFritzi:

Aha, ich bleibe mal stur bei meinem <,>. Sonst sieht das a für mich zusehr nach Skalar aus Big Laugh

Big Laugh

25.05.2007, 15:17

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist natürlich die Gefahr größer, dass ihr aneinander vorbeiredet. Das habt ihr bisher ja schon recht professionell betrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2007, 15:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ich würde hier 1->2->3->1 und 1<->4 vorschlagen, denn 1->2->3 ist billig und 4<->1 ist auch recht einfach. Bleibt nur noch 3->1. Das ist der schwierigste Part der Aufgabe.

Ich glaube eher, dass wir im Punkt, was wollen wir als Teilaufgabe zeigen, aneinander vorbei geredet haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deinen Vorschlag habe ich noch nicht auf Effizienz geprüft Big Laugh

Big Laugh

, aber ich würde Lissy eben empfehlen, auch die vermeindlich trivialen Sachen einmal aufzuschreiben. Nach dem Übungsblatt darf sie dann gerne die Aussagen treffen, ohne sie zu beweisen und "trivial" sagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und so hätte ich mir (1)=> (2) vorgestellt:

Sei nun $\begin{eqnarray*} v \in V \text{ mit } ||v|| = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt der Definition von ||.||:

$\begin{eqnarray*} 1 = ||v|| = \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$

Da F orthogonal ist, folgt mit der Definition aus (1):

$\begin{eqnarray*} 1 = \sqrt{v,v} = \sqrt{F(v),F(v)} = ||F(v)|| \end{eqnarray*}$

Somit ist die Behauptung in (2) gezeigt ((1) => (2)).

28.05.2007, 16:08

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal @tigerbine und webfritzi, wenn man sich das alles mal wirklich schritt für schritt aufschreibt wird das dann schon viel ersichtlicher.
reicht es nicht den satz zu beweisen indem ich 1->2->3->4->1 beweise oder muss ich die noch uintereinander wie 3->1 verknüpfen!? wie ist das mit äquivaltent gemeint, hab das so aufgefasst dass sie folglich gleichwertig sind und die eine richtung reicht.

also kann ich doch auch nach meinem ansatz 2->3 beweisen indem ich schreibe:

|av| = |a(|v| v/|v|)|= |v| a ( v/|v|) = |v| |v/|v|| = |v|

und a ziehe ich raus da es sich ja um eine lin. abbildung handelt aber wieso fällt dann im 3. schritt das a weg? liegt es daran dass |av|=|v| gilt?

noch komplizierter wird der beweis von 3->4 wie gehe ich da am besten an den beweis ran? vielen dank schonmal

28.05.2007, 20:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lissy21
wie ist das mit äquivaltent gemeint, hab das so aufgefasst dass sie folglich gleichwertig sind und die eine Richtung reicht.
l

Dieser Satz läßt mich grübeln was Du meinst. Wenn man nur 2 Aussagen hat, die qäuivalent sind A <=> B, dann muss man beide Richungen zeigen:

A=>B
A<=B

Scheibt man die letzte Aber einmal anders, nämlich B=> A siehst Du dass wieder die Art von Kette ist, wie Du sie hier mit

1=> 2 => 3 => 4 => 1

erhalten würdest. Du kannst generell immer "Einrichtungs-Beweise" machen. Du musst nur sicherstellen, dass Du mit den Folgepfeilen von 1 nach 3, aber auch von 3 nach 1 kommst. Der Weg über 4 ist dabei nicht verboten.

28.05.2007, 23:28

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi tigerbine,

okay das heißt es reicht den satz zu beweisen indem ich dir richtung zeige:

1->2->3->4->1 !!!

dh. für 3->4 setze ich |v| =|av| vorraus.
nur wie zeige ich damit das 4.) gilt?
hab da einen beweis gelesen der mit 2Re((aei)(aej)) = 0 funktioniert nur leider sehe ich hier den zusammenhang nicht!

danke @ tigerbine

28.05.2007, 23:58

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt erstmal wieder schauen wofür 1, 2 6 Co steht. Das habe ich mir nicht gemerkt Big Laugh

Big Laugh

Schreibe dann nochmal was hier rein...

Lehrer

Lehrer

Was ich übersehen habe ist, das wir hier Homomorphismen und keine Endomorphismen betrachten (siehe meine Definition aus Fischer). Alle meine Beweise beziehen sich aber auf diesen Fall.

29.05.2007, 13:25

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich schreibe die Aufgabe in meiner Notation. Du musst dir das eben abpassen.
*********************************************************

Seien V(<,>), W(<,>) zwei euklidische (unitäre) VR. Für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F:~V \to W \end{eqnarray*}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

F ist orthogonal (unitär)
$\begin{eqnarray*} ||v|| =1 \Rightarrow ||F(v)|| =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall v \in V :~ ||v|| = ||F(v)|| \end{eqnarray*}$
Bilder von Orthonomalsystemen unter F sind wieder Orthonomalsysteme.

(1)

Gemäß der Definition bezeichnet man F als orthogonal, wenn für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} <F(v),F(w)> = <v,w> \end{eqnarray*}$

(1) => (2)

Auf einem euklidischen (unitären) Vektorraum V(<,>) ist die Norm ||.|| eines Vektors wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} ||v|| :=\sqrt{<v,v>} \quad \forall v \in V \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich nun für einen gegebenen Vektor aus v mit ||v||=1 (*)

$\begin{eqnarray*} ||F(v)|| \stackrel{\mathrm{def}}= \sqrt{<F(v),F(v)>} \stackrel{\mathrm{def}}= \sqrt{<v,v>} \stackrel{\mathrm{def}}= ||v|| \stackrel{\mathrm{(*)}}=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Lissy21
also kann ich doch auch nach meinem ansatz 2->3 beweisen indem ich schreibe:

|av| = |a(|v| v/|v|)|= |v| a ( v/|v|) = |v| |v/|v|| = |v|

und a ziehe ich raus da es sich ja um eine lin. abbildung handelt aber wieso fällt dann im 3. schritt das a weg? liegt es daran dass |av|=|v| gilt?

Nein, dass sollst Du doch zeigen. Daran kann es also nicht liegen. Warum läßt du das a denn wegfallen,w enn du keine Begründung hast? verwirrt

verwirrt

(2) => (3)

Nun soll gezeigt werde, dass die Längentreue auch für nicht normierte Vektoren folgt. Auf Grund der Linearität von F gilt:

$\begin{eqnarray*} F(0_V) =0_W \end{eqnarray*}$

Auf Grund der Normaxiome gilt:

$\begin{eqnarray*} ||0_V|| = 0 \in \mathbb R (\mathbb C),~||0_W|| = 0 \in \mathbb R (\mathbb C) \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} ||F(0_V)|| = ||0_V|| \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ vom Nullvektor verschieden, dann kann man v wie folgt normieren:

$\begin{eqnarray*} v_n=\frac{1}{||v||}\cdot v~ (*),~||v_n|| = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(v)_n = \frac{1}{||F(v)||} \cdot F(v),~||F(v)_n||=1 \end{eqnarray*}$

Aufgrund von (2) wissen wir:

$\begin{eqnarray*} ||F(v_n)|| = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 1=||F(v_n)|| \stackrel{\mathrm{(*)}}= ||F(\frac{1}{||v||}\cdot v)|| \stackrel{\mathrm{(LA)}} = ||\frac{1}{||v||} \cdot F(v)||\stackrel{\mathrm{(Norm)}} = |\frac{1}{||v||}| \cdot ||F(v)||\stackrel{\mathrm{(Norm)}} = \frac{1}{||v||} \cdot ||F(v)|| \end{eqnarray*}$

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} ||v|| = ||F(v)|| \end{eqnarray*}$

30.05.2007, 09:21

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tigerbine,

Ich hab für die lösung des satzes mir bereits schon weitere ansätze gesucht, aber dieser von dir ist wirklich schön verständlich. ich bedanke mich.

nur bezeichnet v_index-n den einheitsvektor, kann man das so sagen?

für den beweis von 3->4 habe ich mir bereits auch schon einen ansatz aus einem buch gesucht nur leider habe ich hier noch ein verständniesproblem:

(e1,....,en) sei ein orthonormalsytem, also gilt es zu zeigen, dass (Fe1,....,Fen) auch wieder ein orthonormalsystem bildet.

hier schreibt der autor dann: 2Re((Fek)(Fel)= |F(ek+el)|^2-|Fek|^2-|Fel|^2=0

welche rechenregel wird hier angewendet bzw. wie kommt man auf 2mal realteil???

vielen dank schonmal im vorraus

30.05.2007, 10:26

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ n steht hier für normiert.

Bei der 3=> 4 versuche doch einmal selbst etwas. Frage 1:

Was ist ein Orthonormalsystem?

Welche Eigenschaften gilt es also zu prüfen. Welchen Teil davon haben wir bereits gezeigt?

30.05.2007, 17:34

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tigerbine, Orthonormalsystem bedeutet, ist ein orthogonalsystem aus lauter normierten vektoren. dh. das es eine menge (ohne 0) von vektoren gibt, die immer paarweise aufeinander senkrecht stehen und die Länge gleich 1 ist.

ich weiß bereits aus 2.+3 , dass die längentreue einer orthogonalen abbildung auch für nicht normierten vektoren gilt.

eiegntlich muss ich doch zeigen, dass wenn ich zwei vektor v,w eines orthonormalsystems unter F(orthogonal) abbilde diese dann wieder senkrecht aufeinander stehen und dass der betrag wieder 1 ist. soweit alles klar nur wie kommt man dann auf den Realteil....?

30.05.2007, 18:01

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich weiß bereits aus 2.+3 , dass die Längentreue einer orthogonalen Abbildung auch für nicht normierten Vektoren gilt.

Lehrer

Vorsicht. Unser Spielstein steht im Moment auf der 3. Mehr als auf diesem Feld steht, haben wir nicht zur Verfügung. Aus 2 =>3, aber die Umkehrung hast du noch nicht gezeigt! Also darfst Du (2) i.A. nicht benutzen.

Ok. Du weißt was ein ONS ist. Nun versuch einmal selbst (3)=>(4) zu folgern.

(3)=>(4)

$\begin{eqnarray*} \forall v \in V :~ ||v|| = ||F(v)|| \end{eqnarray*}$ (*). Sei nun B ein ONS. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} ||b|| = 1~ \forall~ b \in b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <b_i,b_j> ~= 0 ~\forall~ b_i,b_j \in B \text{ mit } b_i \neq b_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ||F(b)|| \stackrel{\mathrm{(*)}}=||b|| \stackrel{\mathrm{(i)}}= 1 \end{eqnarray*}$

Wie zeigst Du die Orthogonalität?

30.05.2007, 19:02

Lissy21

Auf diesen Beitrag antworten »

orthogonalität heißt ja eiegntlich nur dass die 2 vektoren b element von V aufeinander senkrecht stehen, dh. dass das skalarprodukt null ist!

dass kann ich ja auch errrechnen, nur sprechen wir hier ja über einen unitären vekrorraum dh. könnte ich doch als ansatz z:= a+bi und y:= c+di definieren und ich müsste zeigen, dass das skalarprodukt der Abbildung von z und y auch wieder null ergibt!
bin ich da auf dem richtigen weg?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »