Partialbruchzerlegung.

25.05.2007, 15:55

-Mischka-

Partialbruchzerlegung.

Es geht sich um folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{x^4-5x^3-30x^2-36x}{(x+1)^3\cdot(x^2-4)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int\frac{x^4-5x^3-30x^2-36x}{(x+1)^3\cdot(x-2)\cdot(x+2)} \end{eqnarray*}$
Hier ist nun Partialbruchzerlegung angesagt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4-5x^3-30x^2-36x}{(x+1)^3\cdot(x-2)\cdot(x+2)}=\frac{A}{(x+1)^3}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x+2}+\frac{E}{x-2} \end{eqnarray*}$
Das nun mit dem Hautnenner erweitern:
$\begin{eqnarray*} x^4-5x^3-30x^2-36x=A\cdot(x^2-4)+B\cdot(x^2-4)\cdot(x+1)+C\cdot(x^2-4)\cdot(x+1)^2+D\cdot(x+2)\cdot(x+1)^3+E\cdot(x-2)\cdot(x+1)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^4-5x^3-30x^2-36x=A\cdot(x^2-4)+B\cdot(x^3+x^2-4x-4)+C\cdot(x^4+x^3-3x^2-5x-2)+D\cdot(x^4+5x^3+9x^2+7x+2)+E\cdot(x^4+x^3-3x^2-5x-2) \end{eqnarray*}$
So, jetzt ne Frage: Ist das soweit richtig? Noch ne Frage, gibt es einen Weg, mit weniger Aufwand... Jetzt darf ich ein Gleichungssystem mit 5 Variablen lösen...
Und als ich das gemacht hab, gings irgendwie nicht... Also ich hab zwar Lösungen raus bekommen, aber sie waren falsch...

25.05.2007, 17:25

WebFritzi

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Setz mal x = -1 ein.

25.05.2007, 17:27

therisen

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Hallo,

die Variablen $\begin{eqnarray*} A,D,E \end{eqnarray*}$ kannst du ohne große Rechnung bestimmen.

So ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=(x+1)^3 f(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ der Integrand ist.

usw.

Gruß, therisen

25.05.2007, 17:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
So ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=(x+1)^3 f(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

Ne, A ist nicht Null.

25.05.2007, 17:32

therisen

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Habe ich auch nicht behauptet. Es ist $\begin{eqnarray*} A=-4 \end{eqnarray*}$ , wie man mit meinem Ansatz herausbekommt, wenn man richtig rechnet. Von mir aus kannst du auch einen Limes davor schreiben, wenn es dich glücklich(er) macht.

Gruß, therisen

25.05.2007, 18:30

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen
Hallo,

die Variablen $\begin{eqnarray*} A,D,E \end{eqnarray*}$ kannst du ohne große Rechnung bestimmen.

So ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=(x+1)^3 f(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ der Integrand ist.

Dumme Frage: Wie kann $\begin{eqnarray*} A,D,E \end{eqnarray*}$ ohne große Rechnung bestimmen. Kann man das bitte allgemein erklären, ohne, so dass ich es auf alle Aufgaben anwenden kann, und nicht auf diese spezielle?

btw: Wenn ich da wo du meinst -1 einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} h(x)=(x+1)^3\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} h(-1)=(-1+1)^3\cdot f(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =h(-1)=0^3\cdot f(-1)=0 \end{eqnarray*}$

25.05.2007, 19:48

Tomtomtomtom

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Mit dem (x+1)^3*f(x) wobei f(x) der Integrand ist, meint er, du sollst dir das (x+1)^3 aus dem Nenner des Integranden rausgekürzt denken, und dann einsetzen. Ich "verdenke" mich bei dieser Methode aber auch immer, und bevorzuge die mit den Gleichungssystemen, obwohl man streng genommen das gleiche macht.

Da kann man sich halt 5 (fast beliebige) Stellen wählen, diese in die mit dem Hauptnenner multiplizierte Gleichung einsetzen, und kriegt ein Gleichungssystem von 5 Gleichungen in 5 Unbekannten. Dabei ist es immer cleverer, die Produkte stehenzulassen statt auszuklammern, wie in der Gleichung die du als vorletztes geschrieben hast.
Zu der Frage, welche Stellen man wählen soll: Geschickt ist es, wenn man zuerst die Nullstellen des Nenners des Integrals nimmt, weil man dann Gleichungen erhält, in denen ein paar Koeffizienten vor deinen A,...,E Null sind, damit wird es übersichtlicher und deine Koeffizientenmatrix enthält ne ganze Menge Nullen. Je weniger mehrfache Nullstellen vorkommen, desto besser. Deswegen der Tipp mit der -1 und "A,D,E ist ganz einfach zu bestimmen". Die -1 in deine Glecihung eingesetzt ergibt
12 = A*(-3) + B*0+C*0+D*0+E*0 was ja schon ziemlich einfach aussieht.
Aber im Prinzip ist es halt egal, welche Zahlen man nimmt, schlimmstenfalls hast du eben wirklich 25 Koeffizienten ungleich Null und das ganze wird unangenehm zu lösen.

Wer nach dem ersten Studienjahr Gleichungssysteme ab 5x5 ohne besondere Zusatzeigenschaften per Hand löst, ist eh pervers. Big Laugh

Das Risiko sich zu verrechnen ist bei den meisten Leuten viel zu groß, selbst wenn man das Prinzip 100% verstanden hat.

25.05.2007, 20:03

-Mischka-

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derselbe Gedanke ist mir auch gekommen, aber da ich vorher mit (x+1)³ multipliziert hab, darf ich doch gar nicht mehr (-1) einsetzen, da ich ja so vorher mit 0 multipliziert hätte, oder?

25.05.2007, 20:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von therisen
So ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der Wert der Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=(x+1)^3 f(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

Ne, A ist nicht Null.

Habe ich auch nicht behauptet.

Doch hast du. Lies nochmal genau nach. Augenzwinkern

25.05.2007, 20:09

Tomtomtomtom

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Multiplikation mit 0 is ja nix falsches/schlimmes. Es kann schlimmstenfalls "was falsches richtig machen". Der Unterschied ist ungefähr der wie der zwischen f(x)=x und g(x)=x^2/x. Theoretisch darfst du in die zweite auch keine 0 einsetzen, aber praktisch wird jeder kürzen und trotzdem einsetzen. Das ganze nennt sich hebbare Singularität und du setzt g(x), das nur für IR!=0 definiert ist, stetig fort auf ganz IR. Nach ein paar hundert Partialbruchzerlegungen ist die Menschheit dazu übergegangen, das nicht mehr explizit auszuformulieren, sondern einfach zu behaupten f=g, weils einfach nur ein technisches Detail ist.

25.05.2007, 22:48

therisen

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@WebFritzi) Also dass mit $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ sehe ich nicht ein. Oder willst du mir sagen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot g(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac1x \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ hat? Allerdings habe ich mich zu Beginn etwas "schlampig" ausgedrückt, da man $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ nicht ohne weiteres einsetzen darf. In meiner zweiten Antwort habe ich noch einen Limes davor gesetzt; damit müssten alle Ungenauigkeiten beseitigt sein.

Gruß, therisen

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