hat was mit den zentralengrenzwertsatz zu tun

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Lars Auf diesen Beitrag antworten »
hat was mit den zentralengrenzwertsatz zu tun
guten tag, kann mir jemand ne skizze (anleitung) für folgende aufgabe geben:
f_n(x) ist dichtefunktion von ((S_n)-n)/ n^(1/2).
S_n ist eine summe von n unabhängigen Exp(1)-verteilten zufallsvariablen. zeige, dass f_n(x) gegen die normalverteilung N(0,1) konvergiert.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: hat was mit den zentralengrenzwertsatz zu tun
Nach der von dir gewählten Überschrift gehe ich davon aus, dass du den ZGWS kennst. Dann musst du ja nur noch Erwartungswert und Varianz deiner Exp(1)-verteilten Zufallsgrößen bestimmen (also nachschauen) und in diesen ZGWS einsetzen - fertig.
Lars Auf diesen Beitrag antworten »

hört sich leicht an, ich probier mein glück
Lars Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die besagten Sachen gesucht und gefunden:
Erwartungswert ist: 1 und 1 ist die Varianz

ein wenig dran gespielt ergibt: f_n(x) = n^(1/2)*exp(-x)
wie soll das gegen 1/(2Pi)^(1/2) * exp (-x^2/2) konvergieren???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf das f_n ? Jedenfalls ist es falsch - die Summe S_n der exponentialverteilten Zufallsgrößen ist erlang-verteilt
http://de.wikipedia.org/wiki/Erlang-Verteilung
und das f_n ergibt sich dann daraus durch die angegebene lineare Transformation der Zufallsgröße S_n zu ((S_n)-n)/ n^(1/2).
gast Auf diesen Beitrag antworten »

scheine irgendwas falsch gemacht zu haben.
also S_n = n *(1-exp(-x)) (sieht man leicht auf deiner gelinkten seite wenn man lamda = 1 setzt) dann ((S_n)-n)/ n^(1/2) = -n^(-1/2)*exp(-x)
was ist nicht check wo ist der zusammenhang von ((S_n)-n)/ n^(1/2) zu f_n(x), kann ich die gleichsetzen?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast
also S_n = n *(1-exp(-x)) (sieht man leicht auf deiner gelinkten seite wenn man lamda = 1 setzt)


S_n ist eine Zufallsgröße, n *(1-exp(-x)) ist eine reelle Zahl - schon von daher ist die Gleichsetzung unsinnig. Meinst du mit n *(1-exp(-x)) eine Dichte, oder Verteilungsfunktion oder was. Die Grundbegriffe solltest du schon irgendwie draufhaben, sonst wird die weitere Unterhaltung schwierig. verwirrt

Moment, mir schwant schlimmes:
Hast du etwa aus S_n = X_1 + ... + X_n auf F_n(x) = F_1(x) + ... + F_n(x) geschlossen. geschockt geschockt geschockt
gast Auf diesen Beitrag antworten »

bevor du jetzt weiter liest, solltest du mir versprechen mir nix böses antun zu wollen, könnte völliger unsinn jetzt kommen!

glaube ich hab das so gemacht, deine befürchtung wurde wahr!

F_1(x) = 1-exp(-x)
EX_1 = 1 und VarX_1= 1 => ES_n= n, EVarS_n = n
was mir in den sinn kommt ist nun die momenterzeugende funktion zu betrachten
nützlich ist mir vor allem der satz dann: m_{x+y}(t)= m_x(t) * m_y(t) bei unabhängigkeit von zufallsgrößen und noch: m_x(t) = m_y(t) für ein kleines intervall, so gilt X,Y gleiche verteilung
m_x1(t) = E(êxp(tx1)) = ...= 1
und m_{x1+x2....+xn}(t) = produkt der einzelnen erz. funktionen = 1^n = 1, aber das sagt mir irgendwie nix
gast Auf diesen Beitrag antworten »

arthur kannst du mir erklären wie ich die lineare transformation mache?
S_n ist ja wie gesagt Erlang verteilt, hier lamba = 1.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Dann gilt

für die Verteilungsfunktion von S_n. Für die Dichte gilt dann (differenzieren nach x unter Beachtung der Kettenregel):
Lars Auf diesen Beitrag antworten »

danke!!!!!!!!!! was mir noch fehlt ist jetzt der eigentliche konvergenz beweis, kann sowas gar nicht


beim letzten Schritt benutze ich die Stirling Formel!
aber wie zeige ich weiter das es konvergiert?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile ist nicht ganz richtig - da hast du für endliches n bereits den STIRLING

eingesetzt - aber richtig, der ist ganz nützlich. Augenzwinkern

Die eigentliche Grenzwertrechnung ist tatsächlich nicht ganz einfach:
Sei
und der als existent angenommene Grenzwert (dass dieser GW tatsächlich existiert, wird im nachhinein die Rechnung rechtfertigen).

Dann gilt



Hier nutzt man jetzt noch die Taylor-Entwicklung

woraus dann

folgt.

Eingesetzt ergibt sich



Das ganze geht vielleicht auch ohne das -Kalkül, aber dann wird es noch länger...
gast Auf diesen Beitrag antworten »

sagt der ZGWS auch das die dichte gegen die dichte der normalverteilung konvergiert? oder kann man das ableiten oder ist das auch falsch?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, der ZGWS sagt es auch - insofern war die obige Rechnung unnötig.

Aber ist ja auch mal schön zu sehen, dass man es mit relativ einfachen Mitteln für eine spezielle Ausgangsverteilung auch durch normale Grenzwertbetrachtungen herleiten kann. Augenzwinkern
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