Lineare Abbildung finden, Kern = Bild?

26.05.2007, 14:28

Pixelschieber#1

Lineare Abbildung finden, Kern = Bild?

Mahlzeit!

Wie finde ich eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} Kern(f) = Bild(f) \end{eqnarray*}$ ?

Also das Bild ist ja Quasi eine Menge aller möglichen Ergebnisse und der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf 0 abgebildet werden.

Denke ich mir hier dann zwei Gleichungen aus, oder wie mache ich das? Und macht das überhaupt Sinn, dass Kern und Bild identisch sein sollen?
Abbildungen absolut nicht meine Stärke!

Und als wenn das nicht schon genug wäre:
Wie kann ich eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ finden, für die dasselbe gilt?

Wirkt auf mich wie eine Trial & Error Aufgabe, soweit ich das verstehe(n kann).
Und im Moment ist nur Error unglücklich

26.05.2007, 14:32

therisen

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RE: Lineare Abbildung finden, Kern = Bild?

Zitat:

Original von Pixelschieber#1
Und als wenn das nicht schon genug wäre:
Wie kann ich eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ finden, für die dasselbe gilt?

Gar nicht

26.05.2007, 14:32

tigerbine

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RE: Lineare Abbildung finden, Kern = Bild?
Um eine lineare Abbildung zu beschreiben, reicht es die Bilder der Basisvektoren zu betrachten. Nehmen wir die Standardeinheitsvektoren. Dann hast Du 3 Möglichkeiten:

1. Rang(f) = 2
2. Rang(f) = 1
3. Rang(f) = 0

Sind alle 3 unter der Bedingung Ker(f)=Bild(f) überhaupt denkbar? Augenzwinkern

Edit: @ therisen, mit der Betrachtung würde deine schnelle Antwort für den Fall IR³ doch begründbar sein, oder? verwirrt

26.05.2007, 14:38

WebFritzi

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Überleg dir, dass nur tigerbines Möglichkeit Nr. 2 möglich ist. Die Begründung liefert dir die Dimensionsformel. Diese begründet übrigens aus therisens Beitrag.

Jetzt nimm dir die Standard-Basis des IR². Der Rang muss also 1 sein. Also muss der Kern auch 1-dimensional sein. Nehmen wir halt (1,0) als Kern-Element. Dann kann (0,1) nicht im Kern liegen. Sonst wäre der ja 2-dimensional. Auf was muss jetzt (0,1) abgebildet werden, um die Forderung zu erfüllen?

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