Cantormenge Jordan-Nullmenge |
| 26.05.2007, 15:33 | beuteltier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Cantormenge Jordan-Nullmenge ich möchte zeigen, dass die cantormenge C eine jordan-nullmenge ist (d.h., sie lässt sich mit endlich vielen, beliebig kleinen quadern - in diesem fall intervallen - überdecken). mit cantormenge ist gemeint, dass man aus dem intervall [0,1] das mittlere offene drittel herausschneidet, und immer wieder die drittel in der mitte herausschneidet, unendlich oft. wenn ich es richtig verstehe, muss ich also für jedes beliebig kleine maß endlich viele intervalle konstruieren, die C überdecken. meine frage ist: müssen die überdeckenden intervalle offene intervalle sein? ich kann nämlich das aus der definition in der vorlesung nicht herauslesen, da wird das teilmengen-zeichen ohne strich drunter benutzt (und ich denke damit ist die teilmenge gemeint, die nicht unbedingt eine echte teilmenge sein muss). ich habe leider keine bücher dazu hier und im internet finde ich kaum informationen über das jordan-maß. |
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| 26.05.2007, 23:43 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Cantormenge Jordan-Nullmenge
Eure Definition kenne ich natürlich nicht. Ich denke jedoch, wenn es kompakte Intervalle sind, liegst du in jedem Fall richtig (an dem Teilmengen-Zeichen siehst du Abgeschlossenheit usw. nicht). Wichtig ist ja, dass die Intervalle auch beschränkt sind. Um entsprechende Intervalle zu finden, reicht es, die Konstruktion der "Wischmenge" mal genauer anzuschauen. Grüße Abakus 
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| 27.05.2007, 20:56 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soweit ich weiß, ist eine Jordansche Nullmenge eine Menge M mit folgender Eigenschaft: Vielleicht kennst du den folgenden Satz: Eine kompakte Lebesguesche Nullmenge ist eine Jordansche Nullmenge. (dies beweist man mit der Heine-Borelschen Überdeckungseigenschaft kompakter Mengen) Damit kann man leicht zeigen, dass die Cantormenge eine Jordansche Nullmenge ist. Übrigens: das "Jordan-Maß" ist gar kein Maß. |
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| 27.05.2007, 22:42 | beuteltier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm ja das ist die def. ich habe mir halt einfach gedacht, die Mengen, wo noch nicht unendlich viel rausgeschnitten ist ("Wischmenge" ?!) haben ein immer kleineres maß und enthalten natürlich alle Punkte der Cantormenge, also hat mein bei konstruktion der cantormenge die hilfsmengen als immer kleiner werdende übverdeckungen der cantormenge selbst => es ist eine nullmenge. so hab ichs mir gedacht |
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| 27.05.2007, 23:57 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Idee ist ok. Nur musst du zu vorgegebenem diese Überdeckung noch konkret angeben. Grüße Abakus
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