Extremwertproblem |
| 27.05.2007, 18:45 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extremwertproblem Ich habe ein riesiges Problem mit Extremwertproblemaufgaben. Könntet ihr mir bitte bei den beiden folgenden Aufgaben helfen. Ich finde nicht mal eine Zielfunktion. 1)Von einer rechteckigen Mamorplatte ist an einer Ecke ein Stück abgebrochen. Aus dieser Restplatte soll wieder ein rechteckiges Stück mit möglichst großer Fläche geschnitten werden. Wie sind dabei die Seiten zu wählen? Das rechteckige Stück hat die Maße 150cm x 100cm (im Ursprung). Die rausgebrochene Ecke hat die Seitenlängen, die dem rechten Winkel anliegen, 20cm x 30cm. 2)Der Querchnitt eines 25m langen Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang der Querschnittsfläche beträgt 18m. Wie ist der Radius des Halbkreises zu wählen, damit das Tunnelvolumen möglicht groß ist? Ich finde einfach keinen Ansatz!!! Wäre echt super nett von euch, wenn ihr mir helfen könntet und mir eventuell auch noch ein Paar Tipps zum Lösen solcher Aufgaben geben könntet. 
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| 27.05.2007, 20:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertproblem
Was hast du dir denn bislang überlegt? Am besten machst du mal eine Skizze und benennst die relevanten Größen mit geeigneten Variablen. Überlege dir dabei auch, welche Werte du kennst. |
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| 28.05.2007, 10:26 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu der ersten Aufgabe habe ich ja eigentlich den Flächeninhalt von dem ganzen Stück. 100cm x150cm=15000cm² Es ist der neue Flächeninhalt gesucht und die Formel ist A=a*b. Dann habe ich mir gedacht, dass 100cm=a und 150cm=b ist. Aber das kann ich nicht so in die Formel einsetzen, ich muss von den beiden ja was abziehen. Dann könnte ich ja noch den Flächeninhalt von dem Dreick rauskriegen: A=1/2*a*b=1/2*20*30=300cm². So und dann komm ich nicht weiter. Bei der zweiten Aufgabe weiß ich nur, dass ich ein Volumen berechnen soll, aber ich weiß nicht mal welche Formeln ich nehmen muss. |
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| 28.05.2007, 10:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Aufgabe 2 habe ich mal eine Skizze gemacht. (Ich würde diese Aufgabe zuerst machen, da diese etwas einfacher ist). Jetzt schreibe mal Formeln auf für Fläche und Umfang dieses Gebildes. |
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| 28.05.2007, 11:53 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also für das Rechteck ist der Flächeninhalt A=a*b und der Umfang u=2*(a+b). Bei dem Halbkreis, muss ich da dann immer die Hälfte von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises nehmen? Also u=pi*r und A=pi*r²/2 ? |
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| 28.05.2007, 15:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip ja. Ich habe aber nicht die Variablen a und b verwendet, sondern x und y. Beachte, daß die obere Seite des Rechtecks für den Umfang nicht gezählt wird. Den Radius des Hablkreises kannst du über die Variable x ausdrücken. |
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| 28.05.2007, 17:00 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach ja, also dann, Rechteck: Flächeninhalt:A=x*y Umfang: u=2y+x Halbkreis: Flächeninhalt: A=pi*x²/2 Umfang: u=pi*x |
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| 28.05.2007, 17:43 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt ist alles korrekt! |
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| 28.05.2007, 18:09 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt habe ich also die Formeln und wie komme ich jetzt auf die Zielfunktion? Ich suche ja eigentlich das größtmögliche Tunnelvolumen und den Radius. |
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| 29.05.2007, 08:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht war mein Hinweis "Den Radius des Hablkreises kannst du über die Variable x ausdrücken." mißverständlich. Der Radius ist nicht gleich x, sondern x/2. Daher stimmen obige Formeln nicht. Das größtmögliche Tunnelvolumen hast du dann, wenn der Querschnittsfläche am größten ist. Du mußt jetzt also eine Formel für die Gesamtfläche und eine Formel für den gesamten Umfang aufstellen. Beachte, daß dieser gleich 18 m ist. |
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| 29.05.2007, 17:14 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da der Radius x/2 sein soll, müssten die Formeln lauten: A=(pi*(x²/2))/2 u=pi*(x/2). Muss ich für den gesamten Querschnittsflächeninhalt die beiden Flächeninhalte und auch die Umfänge zusammenrechnen? Dann hätte ich ja: A=x*y+(pi*(x²/2))/2 u=2*y+x+(pi*x/2)=18 |
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| 29.05.2007, 18:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du mußt nur das Quadrat an der richtigen Stelle anbringen: A=(pi*(x/2)²)/2
Ja. Wenn du deine Formel für die Fläche noch korrigierst, dann kannst du die Formel für den Umfang nach y umstellen und dann in die Flächenformel einsetzen. Die Fläche ist dann nur noch von x abhängig. Davon kannst du dann mit den bekannten Methoden das Maximum bestimmen. |
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| 30.05.2007, 18:19 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, die Formel wäre dann also: A=x*y+(pi*(x/2)²)/2 Wenn ich die Umfangsformel nach y umstelle bekomme ich: y=(18-(pi*(x/2)-x)/2 y=9-(pi*x)/4-(x/2) und dann habe ich das eingesetzt und A=x*(9-((pi*x))/4-x/2)+(pi*(x/2)²)/2 A=(72*x-pi*x²-4*x²)/8 durch umstellen rausbekommen. Ist das richtig??? |
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| 31.05.2007, 08:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
An dieser Stelle empfiehlt sich, mal Latex zu verwenden: Also: Das entspricht deinem Ergebnis. Ich würde mir aber das Ausklammern von 1/8 sparen. Von dieser Funktion mußt du nun das maximum bestimmen. |
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| 31.05.2007, 17:42 | summer73 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für die erste Ableitung habe ich dann A(x)=9-(pi*x)/4-(x/4) rausbekommen. Das habe ich dann Null gesetzt und für x=36/(pi+1) Für die zweite Ableitung habe ich A´´(x)=-4*x- 4 Ist das richtig? |
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| 01.06.2007, 08:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da es sich um die Ableitung handelt, solltest du A'(x) schreiben. Desweiteren hast du den 3. Summanden falsch abgeleitet. |
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