ML-Schätzer

27.05.2007, 19:41	cirruswolke	Auf diesen Beitrag antworten »
ML-Schätzer Hallo, ich weis nicht wie man den ML-Schätzer berechnet. Man muss log bilden dann ableiten?? Folgende funktion habe ich gegeben: $\begin{eqnarray} f_{x_i}(x_i,\pi )=\pi (1-\pi )^{(x_i-1)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (X=X_1,..., X_n und X_i-G(\pi )) \end{eqnarray}$ . Wie berechnet m an den ML- Schätzer davon??
27.05.2007, 20:10	cirruswolke	Auf diesen Beitrag antworten »
So habe folgenden Ansatz: l(O)= $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k~log( \pi (1-\pi )^{x_i-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k~(x_i-1)log( \pi (1-\pi ) ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k~(x_i)log( \pi (1-\pi ) -log( \pi (1-\pi )) \end{eqnarray}$ Ableitung: = $\begin{eqnarray} log( \pi (1-\pi ) ) \end{eqnarray}$ Ableitung Null setzten: $\begin{eqnarray} 0=log( \pi (1-\pi ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1= \pi (1-\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= \pi^2-\pi +1 \end{eqnarray}$ ???????
28.05.2007, 16:29	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ML-Schätzer willst du die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(X_i = x_i) \end{eqnarray}$ (im diskreten Fall) bzw. die Dichte $\begin{eqnarray} f_{X_i} (x_i) \end{eqnarray}$ (im absolutstetigen Fall) für $\begin{eqnarray} i = 1,...,n \end{eqnarray}$ maximieren. Hierzu definiert man die Likelihood-Funktion: $\begin{eqnarray} L(x_1,...,x_n,\pi) = \prod_{i=1}^n f_{X_i;\pi}(x_i) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} L(x_1,...,x_n,\pi) = \prod_{i=1}^n P_\pi(X_i=x_i) \end{eqnarray}$ und suchst deren Maximum. Da man leichter mit Summen als mit Produkten arbeiten kann (man nutzt zur Bestimmung des Maximums Methoden der Analysis) und der Logarithmus eine streng monoton wachsende Funktion ist, definiert man die Log-Likelihoodfunktion (z.B. mit dem Logarithmus naturalis): $\begin{eqnarray} LogL(x_1,...,x_n,\pi) = log(\prod_{i=1}^n f_{X_i;\pi}(x_i)) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n log(f_{X_i;\pi}(x_i)) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} LogL(x_1,...,x_n,\pi) = log\prod_{i=1}^n P_\pi(X_i=x_i)) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n log(P_\pi(X_i=x_i)) \end{eqnarray}$ Diese Funktion ist jetzt mit Standardmethoden der Analysis zu maximieren, d.h. zeigen, dass Maximum existiert und bestimmen.
28.05.2007, 17:41	cirruswolke	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, so in etwa hab ich oben versucht. Nur meine Ableitung ist Falsch! Hier die richtige: $\begin{eqnarray} L'(\pi)=\frac{ x_1}{( \pi (1-\pi )) }- \frac{ 1}{ (\pi (1-\pi ))} \end{eqnarray}$ Wenn ich von dieser das maximum berechne komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{( \pi (1-\pi )) }= \frac{ 1}{ (\pi (1-\pi ))} <=> x_1=1 \end{eqnarray}$ Aber das stimmt doch nicht?? Wo liegt mein Fehler?
28.05.2007, 20:05	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hier lautet deine Log-Likelihood-Funktion: $\begin{eqnarray} LogL(x_1,...,x_n,\pi) = log(\prod_{i=1}^n \pi \cdot (1-\pi)^{x_i-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{i=1}^n log(\pi \cdot (1-\pi)^{x_i-1}) = \sum_{i=1}^n log(\pi) + log (1-\pi)\cdot (x_i-1)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = n \cdot log(\pi) + log(1-\pi) \sum_{i=1}^n (x_i -1) \end{eqnarray}$ es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{\pi\to 1} LogL(x_1,...,x_n,\pi) = \lim_{\pi\to 0} LogL(x_1,...,x_n,\pi) = -\infty \end{eqnarray}$ , deshalb nimmt die Log-Likelihoodfunktion auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ ein Maximum an. und demnach $\begin{eqnarray} \frac{\partial LogL}{\partial \pi} = \frac{n}{\pi} - \frac{\sum_{i=1}^n (x_i -1)}{1-\pi} = \frac{n\cdot(1-\pi) - \pi \cdot \sum_{i=1}^n (x_i -1)}{\pi(1-\pi)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 0 \Leftrightarrow n\cdot(1-\pi) - \pi \cdot \sum_{i=1}^n (x_i -1) = 0 \Leftrightarrow \pi = \frac{n} {\sum_{i=1}^n (x_i)} \end{eqnarray}$ D.h. der ML-Schätzer für den Parameter $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ lautet $\begin{eqnarray} \hat \pi = \frac{n} {\sum_{i=1}^n (x_i)} \end{eqnarray}$
28.05.2007, 20:40	cirruswolke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow vielen dank
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28.05.2007, 20:57	cirruswolke	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine letzte Frage noch: Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} \pi =\frac{n}{ \sum_{k=1}^n~(x_i)} \end{eqnarray}$ ?
28.05.2007, 21:05	cirruswolke	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ..ich habs raus. Nochmals Danke

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