Differentialgleichung eindeutig lösbar?

27.05.2007, 21:44

Karla

Differentialgleichung eindeutig lösbar?

Ich habe folgende Aufgabe und bin etwas verwirrt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} -2x & x^2 \leq y \\ 2x-4\frac{y}{x} & 0 < y < x^2 \\ 2x & y \leq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

wobei für f gilt: $\begin{eqnarray*} f:[-1,1] \times [-1,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt lautet die Aufgabe:
Berechnen Sie die Lösungen $\begin{eqnarray*} y:[-1,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ der Anfangswertprobleme $\begin{eqnarray*} y'=f(x,y), \quad y(0) = \eta \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\eta| < 1 \end{eqnarray*}$ .
Für welche $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ ist das Problem eindeutig lösbar?

Zunächst ist das AWP für $\begin{eqnarray*} 0 < y < x^2 \end{eqnarray*}$ ja gar nicht definiert. Für die anderen beiden hat man dann

$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{cases}-x^2 + \eta & x^2 \leq y \\ x^2 + \eta & y \leq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

als Lösung. Und das verstehe ich nicht und ist wohl auch nicht richtig so... Kann mir jemand sagen, wie man die Aufgabe richtig löst?

28.05.2007, 17:46

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung eindeutig lösbar?

Zitat:

Original von Karla
Zunächst ist das AWP für $\begin{eqnarray*} 0 < y < x^2 \end{eqnarray*}$ ja gar nicht definiert.

Warum denn?

28.05.2007, 18:04

Karla

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungen y hängen doch von x ab, also $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ . Und im AWP $\begin{eqnarray*} y(0) = \eta \end{eqnarray*}$ ist doch eine Lösung durch $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,\eta) \end{eqnarray*}$ gesucht. Um die Konstante für das AWP zu bestimmen müßte ich für $\begin{eqnarray*} 0<y<x^2 \end{eqnarray*}$ doch x=0 einsetzen, aber f(x,y) ist doch insbes. nur für $\begin{eqnarray*} 0<x^2 \end{eqnarray*}$ definiert?

Falls ich total daneben liege würde ich mich über einen Hinweis sehr freuen Augenzwinkern

28.05.2007, 18:55

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Karla... aber f(x,y) ist doch insbes. nur für $\begin{eqnarray*} 0<x^2 \end{eqnarray*}$ definiert?

Wieso denn nun wieder das?

$\begin{eqnarray*} D(f)=[-1,1]\times[-1,1]\ni (0,0) \end{eqnarray*}$

28.05.2007, 19:57

Karla

Auf diesen Beitrag antworten »

Hä?
Also f(x,y) ist doch "abschnittweise" definiert. Für $\begin{eqnarray*} x^2 \leq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist das AWP lösbar, dazwischen aber nicht, weil ich nicht x=0 einsetzen darf.

Tut mir leid, aber ich weiß nicht worauf du hinaus willst?

28.05.2007, 20:20

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja ... offenbar reden wir tatsächlich aneinander vorbei. Bleibt und also zu hoffen, dass sich da noch ein dritter einschaltet. Augenzwinkern

28.05.2007, 21:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Karla
weil ich nicht x=0 einsetzen darf.

Doch. Lies nochmal genau nach wie die Funktion definiert ist. Es ist f(0,y) = 0 für alle -1 < y < 1.

28.05.2007, 23:39

Karla

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Also zur Verdeutlichung was ich meine:

Erklärung:
Es ist f(x,y) jeweils oberhalb der Parabel x^2 (mit Rand), unterhalb von y=0 (mit Rand) und dazwischen (ohne Rand) definiert.

Eine mögliche, eindeutige Lösung wäre dann die blaue Kurve für $\begin{eqnarray*} y \leq 0 \end{eqnarray*}$ und die lila-Kurve für den Rest. (Dass das ganze dann (hoffentlich - noch nicht nachgeprüft) überall diffbar ist muß ich dann noch beweisen)

Die Dgl ist dann insgesamt für $\begin{eqnarray*} -1<\eta < 0 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar, für $\begin{eqnarray*} \eta =0 \end{eqnarray*}$ gibt es zwei Lösungen und für $\begin{eqnarray*} 0 < \eta < 1 \end{eqnarray*}$ führt die Lösung aus $\begin{eqnarray*} [-1,1]\times[-1,1] \end{eqnarray*}$ heraus.

Ist diese Idee so richtig oder stelle ich mir das falsch vor?

29.05.2007, 08:31

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Karla
Es ist f(x,y) jeweils oberhalb der Parabel x^2 (mit Rand), unterhalb von y=0 (mit Rand) und dazwischen (ohne Rand) definiert.

Sorry, dass ich mich erneut einmische, aber das ist Quatsch. f ist auf dem Rechteck [-1,1]x[-1,1] definiert. Dort aber eben abschnittsweise, aber das spielt hier doch jetzt gar keine Rolle.

29.05.2007, 13:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Karla: Du verwechselst hier ganz klar Definitionsbereich (das mit dem x²) und Funktionswerte (das sind die 2x blabla).

29.05.2007, 20:01

Karla

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, jetzt bin ich noch verwirrter als am Anfang. unglücklich

Wenn y(x) Lösung der Dgl ist, ist doch y'(x) = f(x,y(x)). Und da f(x,y) auf dem geg. Rechteck definiert ist dachte ich, dass dann y(x) aus [-1,1] sein muss für alle x aus [-1,1].
Und warum spielt die abschnittweise Definition von f(x,y) bei der Berechnung einer Lösung denn keine Rolle?

Vielleicht könnt ihr mir doch einen kleinen Hinweis geben?

Jedenfalls schonmal danke für eure Zeit bisher.

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichung eindeutig lösbar?

Verwandte Themen