Eigenwert und Eigenvektoren

28.05.2007, 00:07

Sila85

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Eigenwert und Eigenvektoren

Wie berechnet man am geschicktesten die eigenwerte und eigenvektoren von der folgenden matrix?

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe es so weit geschafft dass ich folgendes rausbekommen habe:

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=(a-\lambda)^{4}-6(a-\lambda)^{2}b^{2}+8(a-\lambda)b^{3}-3b^{4} \end{eqnarray*}$

die habe ich dann nochmal aufgelöst und schön sortiert...

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)= \lambda^{4}-4a\lambda^{3}+(6a^{2}-6b^{2})\lambda^{2}-(4a^{3}-12ab^{2}+8b^{3})\lambda+a^{4}-6a^{2}b^{2}+8ab^{3}-3b^{4} \end{eqnarray*}$

doch hier komme ich nun nicht weiter. ich sehe zwar dass man das sicherlich noch vereinfachen kann jedoch glaube ich dass ich es etwas zu umständlich mache. wer kann mir verraten ob das überhaupt auf diese weise lösbar ist oder nicht.

vielen dank im voraus

gruß
sila

28.05.2007, 00:46

tigerbine

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RE: Eigenwert und Eigenvektoren
Man kann das Polynom schlechtesten Falls in lauter quadratische Faktoren Zerlegen (komplex konjugierte Nullstellen). Dieses hier zerfällt in Linearfaktoren.

$\begin{eqnarray*} \chi_A= (a+3b-x)\cdot (a-b-x)^3 \end{eqnarray*}$

28.05.2007, 01:04

20_Cent

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Ich denke in so einem Fall ist es am einfachsten die charakteristische Matrix ( $\begin{eqnarray*} \lambda E_4 - A \end{eqnarray*}$ ) durch äquivalente Zeilen und Spalten Transformationen auf Diagonalgestalt zu bringen. Diese Transformationen ändern die Determinante nicht, also in diesem Fall das Char.Pol., also kann man dieses nachher als Produkt der Diagonalelemente ablesen. Du darfst allerdings keine Zeilen oder Spalten vertauschen, bzw. mit Zahlen multiplizieren, sonst ändert sich die Determinante (beim Tauschen ändert sich das vorzeichen)
mfG 20

28.05.2007, 10:13

Sila85

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diese matrix auf diagonalgestalt zu bringen. ist glaube ich nicht so einfach, oder?. habe es nur so weit geschafft...

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b & b & b \\ a-b & b-a & 0 & 0 \\ 0 & b-a & a-b & 0 \\ 0 & 0 & a-b & b-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gibts jetzt hier irgendein trick???

28.05.2007, 10:19

tigerbine

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Du könntest eine Fallunterscheidung machen und dann strickt nach Gaußalgorithmus vorgehen.

28.05.2007, 10:22

Sila85

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wie meinst du das? verstehe nicht genau was du unter fallunterscheidung meinst

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28.05.2007, 10:34

tigerbine

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a oder b = 0. Dann kann es mit der Division im Algorithmus Probleme geben. Und im Falle b= 0 löst sich sich doch schon viel in Wohlfgefallen auf:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0& a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.05.2007, 12:26

WebFritzi

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STOP! Ihr macht gerade den Fehler, den ich neulich auch gemacht hatte. 20_cent meinte, dass man auf (A - tE) den Gauß-Algo loslässt - nicht aber auf A. Letzteres bringt einem gar nichts, da das charkteristische Polynom der mit Gauß veränderten Matrix nicht das gleiche ist wie das von A.

28.05.2007, 12:39

tigerbine

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Right, ich hatte gar nicht mehr auf den Titel geschaut. Sondern nur auf Silas letzten Post.

Zitat:

Silas85
diese Matrix auf Diagonalgestalt zu bringen. ist glaube ich nicht so einfach, oder?. habe es nur so weit geschafft...

(

böse

über mich)

Thanks, Mit Zunge

Mit Zunge

Dann schreib ich die Matrix mal hin, bevor uns dass nochmal passiert.

$\begin{eqnarray*} C:=A - \lambda\cdot E_4= \begin{pmatrix} a-\lambda & b & b & b \\ b & a-\lambda & b & b \\ b & b & a- \lambda & b \\ b & b & b & a- \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun würde es auch hier im Fall b = 0 wieder einfach werden.

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} a-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0& a-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-\lambda \end{pmatrix}, \chi_A=(a-\lambda)^4 \end{eqnarray*}$

Fritzi, machst Du weiter? Ich muss gleich zur Arbeit? Wink

Wink

Edit: Oder natürlich 20_Cent. nx für ungut Big Laugh

Big Laugh

28.05.2007, 13:01

20_Cent

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Wenn der Invariantenteiler Algorithmus bekannt ist, kann er angewendet werden, damit wird genau das richtige erreicht.

Da man eine Zeile nicht mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-\lambda} \end{eqnarray*}$ multiplizieren darf (ist nicht im Polynomring enthalten), empfiehlt es sich, eine Zeile mit b am Anfang nach oben zu tauschen, und die dann mit $\begin{eqnarray*} -\frac{a-\lambda}{b} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren und zu der Zeile mit $\begin{eqnarray*} a-\lambda \end{eqnarray*}$ am Anfang zu addieren. Die restlichen Zeilen mit b am Anfang kann man einfach ausräumen.

mfg 20

28.05.2007, 13:19

WebFritzi

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Zitat:

Original von 20_Cent
Da man eine Zeile nicht mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-\lambda} \end{eqnarray*}$ multiplizieren darf (ist nicht im Polynomring enthalten)

Sehe ich nicht so, weil: den Fall b = 0 haben wir abgehakt. Also dürfen wir annehmen, dass b nicht Null ist. Dann dürfen wir aber durch a - lambda teilen, denn ist lambda = a, dann ist die Matrix invertierbar.

Ich finde deinen Vorschlag, ne Zeile mit b nach oben zu bringen, trotzdem besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@tigerbine: unglücklich

unglücklich

<-- Soll der Rot-anlauf-Smiley sein wegen Mit Zunge

Mit Zunge

Big Laugh

29.05.2007, 23:13

Sila85

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also ich kann euch nicht ganz folgen. wieso muss man eine fallunterscheidung machen?! ich kann doch auch sagen dass weder a noch b = 0 sind. wie zeig ich dann sowas?!?!?!

29.05.2007, 23:24

tigerbine

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Es ist aber doch nicht zunächst verboten, dass nur a=0 und b von Null verschieden ist.

Egal welchen Weg Du nun einschlägst, Du musst eben aufpassen, dass du nicht durch 0 dividierst. Und das übersieht man bei Variablen eben leicht.

29.05.2007, 23:44

Sila85

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das heißt ich könnte alle zeilen erst jeweils durch b teilen und anschließend entwickeln???

30.05.2007, 00:50

tigerbine

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Jain. Wie ändert sich denn dann die Determinante? Wir suchen doch...

Linkaddresse: http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...on_mit_Skalaren

$\begin{eqnarray*} det(C)=det(A - \lambda\cdot E_4)= \begin{vmatrix} a-\lambda & b & b & b \\ b & a-\lambda & b & b \\ b & b & a- \lambda & b \\ b & b & b & a- \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Fall 1: b=0:

$\begin{eqnarray*} det(C)=\begin{vmatrix} a-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0& a-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-\lambda \end{vmatrix} =(a-\lambda)^4 \end{eqnarray*}$

Fall 2: b ungleich 0

$\begin{eqnarray*} det(C) = b^4\cdot \begin{vmatrix} \frac{a-\lambda}{b} & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{a-\lambda}{b} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{a- \lambda}{b} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \frac{a- \lambda}{b} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder Du folgst dem Vorschlag von 20_Cent. Bedenke nur, dass Du bei allen Umformungen an C beachten musst, wie sie sich auf die Determinante auswirken.

30.05.2007, 01:03

Sila85

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also ich habe wie gesagt alles durch b geteilt und dann entwickelt. davor habe ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} - \lambda \end{eqnarray*}$ als eine variable x definiert und nach entwickeln das polynom 4. grades ganz einfach faktorisiert indem ich die nullstellen gesucht habe und ganz einfach polynomdivision durchgeführt habe.

dabei habe ich für $\begin{eqnarray*} x_1=-3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=x_3=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4=-1 \end{eqnarray*}$ herausgefunden!

wenn ich nun wieder rücksubstituiere dann kriege ich beispielsweise für $\begin{eqnarray*} x_1=-3 \end{eqnarray*}$ folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=\frac{a}{b} +3 \end{eqnarray*}$

also kann dieses ergebnis stimmen? ich meine ich habe mich ja die ganze zeit über keine regeln gebrochen...oder doch?!?!?! ich bin geh jetzt mal schlafen sonst dreh ich noch durch Hammer

Hammer

@ tigerbine: vielen dank für deine mühe. aber ich kann momentan gar nicht mehr klar denken traurig

traurig

werde es mir nach dem schlaf nochmal ansehen!

30.05.2007, 01:06

tigerbine

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Schlaf gut

Zitat:

also ich habe wie gesagt alles durch b geteilt und dann entwickelt.

Wie gesagt, beachte die Rechenregeln für Determinanten.

04.06.2007, 20:42

Merl

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Zitat:

Original von tigerbine

Fall 2: b ungleich 0

$\begin{eqnarray*} det(C) = b^4\cdot \begin{vmatrix} \frac{a-\lambda}{b} & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{a-\lambda}{b} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{a- \lambda}{b} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \frac{a- \lambda}{b} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast du vielleicht

$\begin{eqnarray*} det(C) = b^{-4}\cdot \begin{vmatrix} \frac{a-\lambda}{b} & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{a-\lambda}{b} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{a- \lambda}{b} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \frac{a- \lambda}{b} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

gemeint, wir multiplizieren ja mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ oder verstehe ich die Rechenregeln falsch?

04.06.2007, 21:26

tigerbine

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Du verstehst die Regeln Falsch. Wir klammern bei der Matrix b aus. Dadurch bleibt in der Matrix 1/b, davor b. dieses b zeihen wir aus der Determinante raus und es wird zu b^4.

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