Ableitung Winkelfunktionen

28.05.2007, 11:11	eevaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Winkelfunktionen Guten Tag! Ich bin verzweifelnd auf der Suche nach einer Herleitung für die Ableitung von Winkelfunktionen. Vielleicht kan mir hier ja jemand mit einer Erklärung/Formel oder einem Link weiterhelfen. Meine Mathebuch sagt folgendes: ---------- Beweis: Wir gehen von den Differenzenquotienten aus: $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \end{eqnarray}$ Somit erhalten wir: $\begin{eqnarray} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \sin(x)0 + \cos(x)1 = \cos(x) \end{eqnarray}$ ---------- Waaaas? Da komm ich schon beim dritten Schritt nicht mehr mit Wär toll wenn mir jemand mit etwas verständlicheren Mitteln weiterhelfen könnte.
28.05.2007, 11:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung Winkelfunktionen Lies dir mal die Additionstheoreme durch
28.05.2007, 11:43	eevaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich schon versucht und nachgerechnet, aber bei kommt da nur eine ewig lange, und falsche Schlange raus. Kann man das nicht auch anders, z.B. grafisch, beweisen? edit: Aaach nein, ich war bei Produkte der Winkelfunktionen. Oke dann schau ich mir das nochmal an. Dankesehr!
28.05.2007, 11:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na Du solllstest doch mal bei diesem Beweis bleiben. Er wird nicht umsonst in deinem Buch stehen. Frage 1: Wie ist eine Ableitung allgemein definiert? Daher die erste allgemeine Zeile: $\begin{eqnarray} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ Deine Funktion ist nun der Sinus, also die zweite Zeile: $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \end{eqnarray}$ Anwendung eines Additionstheorems füher zur Aufspaltung des ersten Sinus: $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x) \cdot \cos(h)+\cos(x) \cdot \sin(h)-\sin(x)}{h} \end{eqnarray}$ Vergleiche hierzu mal unsere Diskussion "Zirkelschluss" Zwischenschritte von mir: Umsoriteren und Ausklammern $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x) \cdot \cos(h)-\sin(x)+\cos(x) \cdot \sin(h)}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x) \cdot ( \cos(h)-1)+\cos(x) \cdot \sin(h)}{h} \end{eqnarray}$ Bruch aufteilen: $\begin{eqnarray} \sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot \frac{\sin(h)}{h} \end{eqnarray}$ Soweit sollte das nun klar sein, was gemacht wurde. Viel interessanter ist die Frage, wie ihr die folgenden Grenzwerte begründet. Denn beides mal ensteht die Form: $\begin{eqnarray} \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \end{eqnarray}$
28.05.2007, 12:23	eevaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs. Sieht dann doch schwerer aus als es ist. Vielen Dank nochmal. Ja das mit den Grenzwerten: Das schlaue Buch meint beide Male "Ein Beweis ist sehr aufwändig, weshalb wir darauf verzichten." Ist mir momentan auch lieber.
28.05.2007, 12:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, nur gerade in diesem Beweis liegt eben der "Knackpunkt" der Aufgabe. Vielleicht behälst du dir das einfach im Hinterkopf.
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