Voll. Induktion, Ungleichungen, Anfänger, Hilfe

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AndreasJung Auf diesen Beitrag antworten »
Voll. Induktion, Ungleichungen, Anfänger, Hilfe
Hallo,

also normalerweise würde ich ja nicht diesen Ort der Filigranmathematik so wie nachfolgend zuspamen, doch ich befinde mich in einer Notfallsituation, deshalb bitte ich um Vergebung.

Situation: Mathelehrer von meinem LK war krank und hat einen Einleitungszettel zur Vollständigen Induktion reingereicht zum durcharbeiten, zusammen mit Aufgaben zum üben. Soweit so gut. Ich habe mehr oder weniger Alles verstanden und die ersten Aufgaben mit Gleichungen zum beweisen auch hingekriegt. Dann kam eine Aufgaben mit Ungleichungen. Da konnte ich dann die Wege wie bei den Gleichungen nicht mehr anwenden.
Dies wär nicht weiter tragisch, wenn ich nicht in der nächsten Mathestunde genau diese Ungleichungen (also die Beweise) vortragen müsste Hammer

So, und nun komm ich zum Theme "letzte Hoffnung". Denn ich habe wirklich einige Stunden an diesen Aufgaben gesessen und auch im Internet recherchiert, aber ich habe einfach nichts gefunden. Das hat nichts mit Faulheit oder Doofheit zu tun, sondern damit, dass ich vorher noch keine voll. Induktion gemacht habe und mich einfach wissenstechnisch unterversorgt fühle.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, damit ich mich dann die nächste Mathestunde nicht tot stellen muss.

Aufgabe:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
a)
für alle
b)
für
und alle


Damit man meinen guten Willen erkennen kann, hier Das, was ich bereits "geschafft" habe. Die ganze Texterei lass ich mal weg, da die, soweit bekannt, eh immer gleich ist.

zu a)

Induktionsanfang:

klar

Induktionsschritt:




Reicht es hier schon zu behaupten: "Da k>=5, ist 2^k > 4, und damit gilt die Aussage auch für k+1"???
Kommt mir persönlich etwas schwammig vor, nur ich wüsste nicht, was ich sonst noch machen könnte.



zu b)

Induktionsanfang:

schon weniger klar, da klar von "a" abhängig ist

Induktionsschritt:

(muss bewiesen werden)

Viel weiter komm ich nicht. Das Einzige, was mir noch einfallen würde wär

aber so komm ich auch nicht viel weiter.



Schuldigung für das Klauen von Zeit,
trotzdem freundliche Grüße,
Andreas Jung
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Voll. Induktion, Ungleichungen, Anfänger, Hilfe
Zur ersten Aufgabe:

Hier mußt du zunächst nur die linke Seite betrachten und diese immer ein bißchen umformen und kleiner machen, bis irgendwann 4(k+1) dasteht.

Schaue dir mal http://www.matheboard.de/thread.php?postid=81203#post81203 an. Da geht es um die Aufgabe "Zeige, dass 2^n>2n für n>=3". Versuche mal, das auf dein Problem zu übertragen.

EDIT Link auf exakten Beitrag gesetzt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Voll. Induktion, Ungleichungen, Anfänger, Hilfe
zu b)
Induktionsanfang:

da a < 1 kann man mit 1 - a multiplizieren:
1 - a² < 1 das stimmt.

Ich frage mich aber, ob es nicht besser wäre, folgende Gleichung zu nutzen oder zu beweisen:
AndreasJung Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für euren Antworten.

Calvin:
Das Prinzip habe ich glaube ich verstanden. Ich habe zwar sowas noch nie gesehen geschw. denn angewendet. Aber es scheint sinnig zu sein.
Das Einzige, woran ich mich noch aufhänge ist von der 2 auf die 4 zu kommen.
Die beste Nährung sieht bis Dato so aus:



klarsoweit:
Mit b) beschäftige ich mich, wenn ich a) gelöst habe. Aber trotzdem schonmal Danke für deine Anwort!
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AndreasJung



Es gibt 2 Probleme bei der Ungleichungskette. Zum einen stimmt das letzte Gleichheitszeichen nicht. Zum anderen hast du nirgends deine Induktionsvorraussetzung drin. Genau das ist das entscheidende beim Induktionsverfahren. Die Behauptung soll ja für k+1 gelten, unter der Vorraussetzung, dass sie für ein k gilt. Hier ginge das z.B. folgendermaßen:



Und jetzt weiter umformen und verkleinern, bis 4(k+1) dasteht smile
n! Auf diesen Beitrag antworten »

also da die a) ja nur noch eine Formsache ist, will ich dir mal einen Tipp für b) geben.Das Einsetzen der Induktionsannahme ist der Knackpunkt wie Calvin sagte.


.
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wie du siehst übereinstimmt bei deinem Induktionsschritt der linke Teil bis auf die Ausnahme von mit dem,deiner Induktionsannahme,die bei aufhört.Also kannst du wieder die Annahme ins Spiel bringen
 
 
AndreasJung Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Calvin:
Ja, hast recht, da war nen Fehler drin ... lag wohl an der Uhrzeit.

Naja, und zum Lösungsweg: Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. War also wirklich nur noch Formsache.


n! (und klarsoweit):
Hab ich wie gesagt gemacht. Ich muss sagen, ich habe heute Morgen schon 2-3 Seiten mit Rechnungen gefüllt, bin aber immer nicht ganz drauf gekommen. Dann hab ich folgendes entdeckt...
Auch wenn man keine Lösungen posten soll ..., ist das wirklich so einfach?...

|


Ich meine, ich hab den ganzen Morgen dran rumgerechnet, und das jetzt in zwei Zeilen. Ich kann mir das nicht vorstellen, hab ich was übersehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

nee, so geht es nicht, habe aber nach etwas Grübeln die Lösung gefunden:

AndreasJung Auf diesen Beitrag antworten »

So, hatte nun mit kleiner Verspäter Zeit, mir das nochmal anzugucken. Habs nach dem dritten Blick auch verstanden. Also vielen Dank.

Der Vertretungsmathelehrer meinte, dass er bei dieser Aufgabe auch nicht weiter kam, und dies nur mit Hilfe einer darauffolgenden Aufgabe hingekriegt hätte ( ). Habe diese Aufgabe allerdings problemlos gelöst, und die Lösung hat nix damit zu tun, wie nun die b) gelöst wurde.

Wie gesagt, deine Lösung ist perfekt nachzuvollziehen (wenn man drauf kommt Augenzwinkern ).

Naja, mittlerweile komm ich mehr oder weniger in die Materie rein.
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