Abstand zweier Parabeln

28.05.2007, 17:24

Mäth´sche

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Abstand zweier Parabeln

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
was ist der minimale Abstand zwischen folgenden Funktionenl?
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+4)^2+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{2}(x+1)^2+1 \end{eqnarray*}$

Meine Vermutung durch spielen mit GeoGebra: an den gesuchten Punkten müssen die jeweiligen Tangenten parallel sein, was mir die Auswahl erleichtert. Warum?

Begebe ich mich ans rechnen, gibt es hunderte Wege, welcher ist der geschickteste? Soll ich die Kurven zuerst parametrisieren, soll ich eine allgemeine (recht wüste) Abstandsfunktion definieren, die ich dann ableite, soll ich in einen festen Punkt von f einen Kreis bestimmen und den Radius, der g genau einmal schneidet und das dann für alle Punkte von f und dann daraus das Minimum wählen? Ich rechne schon den ganzen Tag und habe nix vorweisbares. Ständig müsste ich Nullstellen von Polynomen vierten Grades bestimmen. Daher auch meine Frage: ist das Problem nur nummerisch zu lösen?

Wer hat ähnliches schonmal gemacht und kann mir helfen?

28.05.2007, 17:29

kiste

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Keine Ahnung wie du auf Polynome vierten Grades kommst.
Minimiere die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) - g(x) \end{eqnarray*}$ durch bilden der ersten Ableitung die du = 0 setzt

28.05.2007, 17:35

Mäth´sche

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Das ist der minimale Abstand, wenn die x-Werte gleich sein müssen. Hatte ich aber nicht gesagt. Ich versuche gerade eine Skizze hochzuladen. Wie macht man das?

28.05.2007, 17:47

Mäth´sche

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Habe hoffentlich die Skizze angehangen.

28.05.2007, 18:38

fraggelfragger

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+4)^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+8x+17 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{2}(x+1)^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{2}( x^2+2x+1) +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

2 Möglichkeiten:
1. $\begin{eqnarray*} d(x) = f(x) - g(x) \end{eqnarray*}$ <--- Den Tiefpunkt der Differenzfunktion errechnen

oder

2. $\begin{eqnarray*} d(x) = g(x) - f(x) \end{eqnarray*}$ <--- Den Hochpunkt der Differenzfunktion errechnen
$\begin{eqnarray*} d(x) = ? \end{eqnarray*}$

bilde jetzt mal die differenzfunktion , wenn nun wieder ein polynom 4ten grades rauskommt würd ich mich stark wundern,

28.05.2007, 19:04

Airblader

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Das wäre aber nur bei gleichen x-Werten. Hier ist wohl der Normalenabstand gesucht smile

smile

air

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28.05.2007, 19:46

fraggelfragger

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Zitat:

Original von Airblader
Das wäre aber nur bei gleichen x-Werten. Hier ist wohl der Normalenabstand gesucht smile

smile

air

ups sry
//edit
so dachte ich
siehe Bild a

wenn der Abstand natürlich schräg ist dann geht das nicht, das ist klar.
siehe Bild b

28.05.2007, 20:39

Mäth´sche

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Nachdem jetzt 2 mal vorschnell geschossen wurde, ist jetzt mein Problem glaueb ich klar. Trotzdem Danke für die Versuche.

Also ich habe folgende Idee:
Definiere:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+4)^2+1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g(s)=-\frac{1}{2}(s+1)^2+1 \end{eqnarray*}$ .
Mit der Überlegung (die ich mitlerweile auch begründen kann), dass notwendig die jeweiligen Tangentensteigungen an den gesuchten Punkten gleich sein muss ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} s=-2x-9 \end{eqnarray*}$ und somit:
$\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{2}(-2x-8)^2+1 \end{eqnarray*}$ .
War das soweit richtig gedacht?

Nach dieser Umparametrisierung dürfte ich tatsächlich die mehrfach angedachte und offensichtlich erscheinende Differenz ansetzen, ableiten, null setzen und eine Lösung erhalten. Problem: es ist eine offensichtlich falsche (x=-4).

Wer weiß weiter? Wo bin ich falsch abgebogen.

28.05.2007, 23:23

fraggelfragger

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Kannst du mal etwas genauer erläutern wie du auf $\begin{eqnarray*} s=-2x-9 \end{eqnarray*}$
gekommen bist.

Bist du so darauf gekommen?
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x+8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = -x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s=g'(x)-f'(x) \end{eqnarray*}$

mfg

29.05.2007, 09:47

Mäth´sche

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Nein, so bin ich nicht drauf gekommen, dann hätte ich mich ja verrechnet.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2(x+4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(s)=-(s+1)=-s-1 \end{eqnarray*}$
Setze $\begin{eqnarray*} f'=g' \end{eqnarray*}$ (Begründung siehe oben) und löse nach s auf.
Das ist dann die Umparametrisierung. Ich denke auch, dass ich mit dem einsetzen von s in g(s) den Denkfehler habe, weiß aber nicht genau warum.
verwirrt

verwirrt

29.05.2007, 10:29

AD

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@Mäth´sche

Man muss schon sehr auf die Wortwahl achten: Geht es nun um

a) den minimalen Abstand zweier Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ? In dem Fall sehe wie kiste auch ich es so, dass $\begin{eqnarray*} \min\limits_x |f(x)-g(x)| \end{eqnarray*}$ gesucht ist.

oder

b) den minimalen euklidischen Abstand der zwei Funktionsgraphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ? In dem Fall sucht man tatsächlich $\begin{eqnarray*} \min\limits_{x_1,x_2} \sqrt{(x_1-x_2)^2+(f(x_1)-g(x_2))^2} \end{eqnarray*}$ .

Was von beiden nun wirklich gesucht wird, musst du uns sagen. Du favorisierst Variante b) - bist du dir wirklich sicher, dass es so gemeint ist? Die Wortwahl der Aufgabenstellung spricht eher für a) - aber wie sorgsam dort formuliert wurde, entzieht sich meiner Kenntnis.

EDIT: Ach ok, du bist in deinen letzten Beiträgen dann doch bei Variante a) gelandet - kam beim flüchtigen ersten Durchlesen nicht so deutlich rüber. Dann betrachte meinen Beitrag hier nur als Gegenüberstellung der beiden Interpretationsvarianten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2007, 14:32

Mäth´sche

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hallo nochmal.
ich meine es so wie in dem BILD b) von fraggelfragger dargestellt, also den Normalenabstand. damit ist wohl auch dein (lieber arthur) b) gemeint. Sorry für die Verwirrungen. Wo ist jetzt mein Fehler.

29.05.2007, 19:28

fraggelfragger

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Der Fehler liegt daran das eine Normale der Parabel f(x) nie eine Normale der Parabel g(x) ist und somit es nie der Normalenabstand sein kann.

wenn man nur mal beispielsweise eine Normale an die f(x) konstruiert und dann die Steigung im Schnittpunkt mit der g(x) vergleicht, dann hat sie eine andere.
Also trifft sie nicht im gleichen Winkel auf.

29.05.2007, 22:31

Mäth´sche

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???
Ich kann mit deiner Antwort gerade leider nix anfangen, würdesie aber gerne verstehen, da das Problem weiterhin aktuell ist.
Wieso ist eine Normale von f NIE eine Normale von g?

"wenn man nur mal beispielsweise eine Normale an die f(x) konstruiert und dann die Steigung im Schnittpunkt mit der g(x) vergleicht, dann hat sie eine andere."

Diesen Satz verstehe ich in seiner Aussage ganz und gar nicht, er scheint etwas mysthisch.

Es gibt doch wohl parallele Tangenten? Also auch die gleichen Normalen?

29.05.2007, 22:55

fraggelfragger

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Ich zeichne es dir auf moment,

//edit

so fertig...

Bild 1:
1. Punkt und Tangentensteigung auf m= 1,5 definiert.
2. Punkte auf beiden Parabeln gesucht, und daran Tangenten angelegt, da gleiche Steigung sind sie parallel
3. Normale n(x) wurde konstruiert und eingezeichnet.
4 Normale n(x) schneitet g(x) nicht am Berührpunkt der t2(x) an g(x)

deshalb ist dies nicht der genaue Abstand zwischen den Parabeln, auch wenn beide Tangenten die gleiche Steigung haben.

Jetzt klar was ich meine? Deshalb kann man meiner Meinung nach nicht machen da ja nicht der Abstand zwischen den beiden Tangenten gefragt ist!

mfg

30.05.2007, 07:12

Mäth´sche

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Ja, soweit klar. Danke.
Aber ein Gegenbeispiel ist doch bitte schön kein Beweis. Meine Behauptung ist ja gerade, dass wir das gesuchte Punktepaar genau dann haben, wenn die beiden Normalen aufeinander Fallen. Dass es ein solches Paar geben muss, ist schon anschaulich klar, daher kannst du es auch durch Rumspielen mit deinem Programm sehen. Die Frage ist nur, wo sie zusammenfallen und vor allem, wie ich dies berechne.
Und da dämmert mir so langsam, dass ich nicht nur die Tangenten parallel haben muss, sondern die Normalen auch identisch setzen muss. Daher meine Frage: wie stelle ich eine Normalengleichung auf? $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{m}x+b \end{eqnarray*}$ . Wie bestimme ich b?

30.05.2007, 09:00

Airblader

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Ist mir zu früh, mir gerade Gedanken dazu zu machen, aber Normalengleichung allg.:

$\begin{eqnarray*} n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) + f(x_0) \end{eqnarray*}$

ist die Normale an f an der Stelle x0

air

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