Durchschnitt (war: Vereinigung) von Unterräumen

28.05.2007, 20:33

MrMilk

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Durchschnitt (war: Vereinigung) von Unterräumen

Hallo,

wie schon in einem der anderen Posts möchte ich noch einmal auf dieses Beispiel zurück kommen:

$\begin{eqnarray*} U_1&=&\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right):2x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0\right\} \end{eqnarray*}$

Aber dieses mal ziehe ich noch einen zweiten Unterraum von R³ dabei:

$\begin{eqnarray*} U_2&=&\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right):-x_{1}+2x_{2}-4x_{3}=0\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun,wenn ich davon die Vereinigung erreichen möchte, müsst ich die Gleichungen gleich setzen, womit folgt:

$\begin{eqnarray*} 3x_1+2x_2=0 \end{eqnarray*}$

Allerdings kann ich hierzu nichts linear unabhängiges finden. Was kann ich nun machen um zu diesem Raum eine Basis zu finden.

Ich weiß nur, dass dieses maximal eine Dimension von 3 haben kann.

Bin über Tipps dankbar,

Viele Grüße
-- MrMilk

28.05.2007, 20:50

WebFritzi

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RE: Vereinigung von Unterräumen

Zitat:

Original von MrMilk
wenn ich davon die Vereinigung erreichen möchte, müsst ich die Gleichungen gleich setzen

Nein! Vereinigung bedeutet "oder" - nicht "und".

28.05.2007, 20:51

tigerbine

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RE: Vereinigung von Unterräumen
Welche Dimensionen haben denn die beiden Untervektorräume? Wie lautet jeweils eine Basis? Wie lautet der Schnitt? Hier soll aber vereinigt werden, denke dran.

EDIT: Fast 3 auf einen Streich Big Laugh

Big Laugh

28.05.2007, 20:57

therisen

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Beachte, dass die Vereinigung zweier Unterräume im allgemeinen kein Vektorraum ist (also auch keine Dimension hat).

28.05.2007, 21:14

tigerbine

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Diie Vereinigung liegt jedoch in einem Teilvektotraum. Weißt du, welchen ich meine? Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2007, 22:04

MrMilk

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Hallo

Entschuldigung, ich meinte Schnittmenge. Sonst macht das gleichensetzen vermutlich auch keinen Sinn.

Ich habe mir nun überlegt, wenn ich beides Gleichungen zusammen fasse und dieses als Gleichungssystem betrachte, dann bekomme ich als einzige Lösung: x=y=z=0.
Somit vermute ich, dass die Schnittmenge ihr den $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^0 \end{eqnarray*}$ aufspannt. In diesem Fall wäre die Basis die leere Menge und hätte damit die Dimension 0.

Oder habe ich mir quatsch ausgedacht?

Viel Grüße
-- MrMilk

@Admin: Könnte jemand eventuell Vereinigung in Schnittmenge umbenennen?

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28.05.2007, 23:26

therisen

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Ok, ich ändere mal den Titel.

Im Übrigen erhältst du die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x_2-3x_3=0 \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} x_3 := \lambda \end{eqnarray*}$ . Was erhältst du dann für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ? Und was für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ? Geometrisch betrachtet handelt es sich hier um den Schnitt zweier Ebenen.

Gruß, therisen

29.05.2007, 19:54

MrMilk

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Hallo therisen.

somit erhate ich einen Vektor $\begin{eqnarray*} v:=\begin{pmatrix} -\lambda \\ \frac{3}{2}\lambda \\ \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ welcher den Schnitt der beiden Ebenen beschreibt, wobei es sich um eine Grade handelt.

Somit kann ich sagen, das die Basis $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ gleich v ist. Es handelt es sich um ein ES, da ich mit passend gewähltem Skalar jeden Punkt darstellen und die Menge $\begin{eqnarray*} \{ v \} \end{eqnarray*}$ ist auch linear unabhängig. Somit weiß ich, dass die $\begin{eqnarray*} Dim(U_1 \cap U_2)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Stimmt das so?

Viele Grüße
--MrMilk

29.05.2007, 20:09

therisen

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Du meinst das richtige, schreibst es aber falsch.

Dein v ist irgendein Punkt auf der Geraden. Du willst aber einen konkreten Punkt haben. Setze daher z.B. $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} -2\\3\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 = \mathbb Rv \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

29.05.2007, 20:11

MrMilk

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Hallo therisen,

Ist denn das mit der Basis {v} so richtig(Begründung)?
Darf man $\begin{eqnarray*} \mathbb v \end{eqnarray*}$ schreiben?

Viele Grüße
--MrMilk

29.05.2007, 20:37

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Ist denn das mit der Basis {v} so richtig(Begründung)?
Darf man $\begin{eqnarray*} \mathbb v \end{eqnarray*}$ schreiben?

Eine einelementige Menge ist immer linear unabhängig, wenn sie nicht gerade den Nullvektor enthält.

Was soll das zweite bedeuten??

Gruß, therisen

29.05.2007, 20:51

MrMilk

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Wah, wie ist das Zeichen entstanden?

DAs meinte ich: $\begin{eqnarray*} \mathbb R v \end{eqnarray*}$

Ich gebe doch die Basis mit {v} an.
Aber schreibe ich wirklich $\begin{eqnarray*} \mathbb R v = U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ . Oder schreibe ich $\begin{eqnarray*} \lambda v = U_1\cap U_2\biggm| \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Ich kenne die erste Schreibweise bis jetzt leider so noch nicht...

Viele Grüße
-- MrMilk

29.05.2007, 21:14

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Oder schreibe ich $\begin{eqnarray*} \lambda v = U_1\cap U_2\biggm| \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Diese Schreibweise finde ich seltsam. Benutzt die euer Prof? Eine gängige Schreibweise wäre $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 = \langle v\rangle \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 = \mathrm{span}\{v\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MrMilk
Ich kenne die erste Schreibweise bis jetzt leider so noch nicht...

Die Schreibweise wird gerne in der analytischen Geometrie verwendet. Du wirst sie noch kennenlernen - früher oder später Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

29.05.2007, 21:40

MrMilk

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Hallo therisen,

nein, vermutlich würde mein Professor dieses so auch nicht schreiben, aber ich wusste in dem Augenblick nicht, wie ich es besser ausdrücken sollte. Das mit der Hülle finde ich am besten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auch wenn es nichts mit der Vereinigung zu tun hat, aber wie würde dann eine Addition der beiden Räume aussehen, sprich $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ ?

Meine Idee ist, ich nehme die Basen von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ und vereinige diese. So entferne so lange Elemente aus der Menge, bis dort nur noch linear unabhänige Vektoren sind. Das wäre dieses dann $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
-- MrMilk

29.05.2007, 21:51

therisen

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$\begin{eqnarray*} U_1+U_2:=\langle U_1\cup U_2\rangle \end{eqnarray*}$ smile

smile

29.05.2007, 22:04

MrMilk

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Hallo therisen,

das klingt für mich fast logisch. Allerdings bleibt noch eine Frage bei der Vereinigung für mich offen. Fallen alle Elemente die linear abhängig sind dabei automatisch raus? Oder lässt man so etwas bei der Hülle stehen?

Viele Grüße
-- MrMilk

29.05.2007, 22:10

therisen

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Nein, die Menge, die innerhalb der Hülle steht, braucht nicht linear unabhängig zu sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2007, 22:25

MrMilk

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Stimtm das klingt logisch.

Allerdings bei der Basissuche würde ich doch eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ mit einer Basis von $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ vereinigen und alle linearen raus schmeißen, korrekt?

Viele Grüße
-- MrMilk

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