Gleichmäßige Konvergenz

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Nille Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz
Hallo,

folgende Aufgabe:

"Zeigen Sie, dass punktweise und gleichmäßig auf gegen 0 konvergiert."
Punktweise ist klar; aber: [e soll naürlich ein Epsilon sein]
und ich finde keine Abschätzung dafür, die von x unabhängig ist. Im Gegenteil: Es scheint, dass für x->0
der Ausdruck divergiert, d.h. zu jedem n ließe sich ein x finden, sodass die Ungleichung nicht nabh. von x gelten kann, also liegt keine glm. Konvergenz vor.
Hat jemand 'ne schlaue Idee? Vielen Dank schon jetzt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz
Deine Idee ist vollkommen richtig:

Betrachte , wobei du



wählen kannst - dieses Supremum ist tatsächlich endlich. Die von dir erwähnte Divergenz betrifft nur die Richtung gegen -Unendlich, aber das ist für das Supremum irrelevant.

P.S.: Verwende bitte keine ² in den LaTeX-Formeln, sondern nur im Text- manche Browser haben dann Darstellungsprobleme. Unter LaTeX verwende dafür immer ^2.
Nille Auf diesen Beitrag antworten »

OK, alles klar. Mein Problem war offenbar, dass ich die Beschränktheit nach oben des Ausdrucks nicht erkannt habe, bzw. auf die Divergenz irgendwie scheuklappenartig reagiert habe.
Danke.
AndyRo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

warum ist der Supremumsausdruck nach oben beschränkt???
Das ist mir nicht ganz klar.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Für ist der gesamte Bruch ja trivialerweise <0, also durch 0 nach oben beschränkt. Sei nun und . Es ist .
Deshalb kannst du z.B. zu ein finden, sodass für stets

bleibt.
Betrachte nun die Funktion f auf den Intervallen und . Auf diesen Intervallen ist sie natürlich stetig, nimmt dort also insbesondere jeweils ein Maximum bzw. an (Extremalsatz für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen!!).
Dann ist aber , was schon die gesuchte Beschränktheit ist.

Gruß MSS
AndyRo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

du definierst jetzt Epsilon als 1 und dann bleibt f(x)<1.
Wenn man also jetzt 0<Epsilon<1 wählt, muss man die Schranke für f(x) entprechend nach oben korregieren, aber da man immer so eine Schranke angeben kann, ist alles in Butter.

Ist so deine Argumentation?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Ich weiß nicht genau, was du meinst! Erstmal: Welches epsilon meinst du, oder ?
Welche Schranke soll/muss ich dann nach oben verändern?? verwirrt
Ich habe mir das so überlegt:



Das bedeutet nach Definition:

Zu jedem existiert ein , sodass für stets bleibt.
Dass soll verdeutlichen, dass von abhängt. Und jetzt nehme ich einfach .
Dann kann ich nach der obigen Definition ein finden, sodass für stets bleibt. Ich kann dabei o.B.d.A. von ausgehen. Nun habe ich klar definiert und für die Beschränktheit gezeigt. Und das, was ich danach gemacht hab, war, dass ich die Beschränktheit für gezeigt habe.

Gruß MSS
AndyRo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja so meinte ichs, habe mich da gestern nacht aber vielleicht etwas undeutlich ausgedrückt.
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