Indirekter Beweis

29.05.2007, 12:40

Musti

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Indirekter Beweis

Hallo

a) Für alle reelen Zahlen x gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x<x^2 \end{eqnarray*}$

Leider kann ich Beweise noch nicht, deswegen weiß ich nicht wie ich hier rangehen muss.

Also da man indirekt beweisen soll, denke ich muss man zeigen dass wenn $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} x>x^2 \end{eqnarray*}$ oder?

Wenn ja wie geht es weiter? Ich müsste jetzt einen Widerspruch finden, aber welchen?

Danke

29.05.2007, 12:52

klarsoweit

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RE: Indirekter Beweis

Zitat:

Original von Musti
Also da man indirekt beweisen soll, denke ich muss man zeigen dass wenn $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} x>x^2 \end{eqnarray*}$ oder?

Da liegt du schon mal falsch. Beim indirekten Beweis nimmt man an, daß das Gegenteil der zu zeigenden Aussage gilt. Dann muß man durch geeignete Folgerungen zu einem Widerspruch kommen.

29.05.2007, 12:53

kiste

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Nimm an das für $\begin{eqnarray*} 1 < x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x \geq x^2 \end{eqnarray*}$ und finde jetzt einen Widerspruch.

Was darfst du den benutzen für den Beweis? Ordnungsaxiome? Ansonsten kann man das doch nur anschaulich lösen, oder?

29.05.2007, 12:55

Musti

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RE: Indirekter Beweis
@klarsoweit

Ist denn $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x>x^2 \end{eqnarray*}$ nicht das Gegenteil vom Beweis?

Oder muss ich einen Widerspruch hier zu finden: $\begin{eqnarray*} 1>x \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x>x^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

29.05.2007, 13:04

klarsoweit

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RE: Indirekter Beweis

Zitat:

Original von Musti
Ist denn $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x>x^2 \end{eqnarray*}$ nicht das Gegenteil vom Beweis?

Kleiner Grundkurs Aussagenlogik:
Es geht hier nicht um das Gegenteil eines Beweises, sondern um das Gegenteil der behaupteten Aussage. Die behaupteten Aussage ist x < x². Das Gegenteil davon ist x >= x².

Beim indirekten Beweis gehtst du jetzt davon aus, daß sowohl die Voraussetzung (1 < x) als auch das Gegenteil der Behauptung (also x >= x²) wahr sind. Daraus mußt du jetzt einen Widerspruch folgern.

29.05.2007, 13:09

Musti

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RE: Indirekter Beweis
Ok.

Jetzt gilt es einen Widerspruch zu finden. Leider finde ich den Widerspruch nur durch Zahlen einsetzen. Irgendwie komme ich anders nicht auf einen Widerspruch unglücklich

unglücklich

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29.05.2007, 13:19

sqrt4

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Falls $\begin{eqnarray*} x \geq x^2 \end{eqnarray*}$
Dann $\begin{eqnarray*} x(1-x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

So jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ verwenden.

29.05.2007, 13:41

Musti

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Jetzt könnte man doch so weiter fortfahren in dem man sagt dass die Aussage $\begin{eqnarray*} x(1-x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1<x \end{eqnarray*}$ nicht gilt oder?

Wie bist du denn auf $\begin{eqnarray*} x(1-x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ gekommen?

29.05.2007, 14:02

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \geq x^2 \end{eqnarray*}$

Indem er x² auf die andere Seite gebracht und dann ausgeklammet hat.

Gruß Björn

29.05.2007, 14:34

Musti

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Danke

Ein weiterer Beweis.

b) Für alle positiven reelen Zahlen $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \geq \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

Wenn die Aussage nicht stimmt, dann gilt für alle positiven Zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \leq \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$ .

So Falls $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \leq \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$ .

Dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}\cdot \frac{a+b}{2ab} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Da a und b positive reele Zahlen sind entsteht ein Widerspruch womit bewiesen wäre, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \geq \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so verwirrt

verwirrt

Danke

29.05.2007, 14:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Wenn die Aussage nicht stimmt, dann gilt für alle positiven Zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \leq \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$ .

Formal wäre das Gegenteil der Aussage:
Es gibt Zahlen a und b mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} < \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Musti
Dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b}\cdot \frac{a+b}{2ab} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du auf diese Ungleichung? verwirrt

verwirrt

Ich würde in der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} < \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$ mit (a+b) multiplizieren und durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \end{eqnarray*}$ dividieren.

29.05.2007, 14:52

Musti

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Ahh

böse

das kommt immer davon wenn man faul ist und aufgeschriebene Sachen einfach kopiert. Bei der Umformung habe ich dumme Fehler gemacht Hammer

Hammer

.

Also deiner Umformung zufolge habe ich stehen $\begin{eqnarray*} a+b<\frac{2ab}{\sqrt{ab} } \end{eqnarray*}$ das kann man weiter zusammenfassen zu $\begin{eqnarray*} a+b<2\sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das bisjetzt denn heute mache ich irgendwie alles falsch. unglücklich

unglücklich

29.05.2007, 15:00

klarsoweit

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Soweit ok.

29.05.2007, 15:02

Musti

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Hieraus entsteht für positive reelen Zahlen a und b ein Widerspruch, womit bewiesen wäre, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\cdot b} \geq \frac{2ab}{a+b} \end{eqnarray*}$ für alle positiven reelen Zahlen gilt.

Reicht dieser Widerspruch um die Aussage zu beweisen?

Danke

29.05.2007, 15:05

kiste

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Aha und warum entsteht hier ein Widerspruch?

Tipp: Quadrieren

29.05.2007, 15:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Hieraus entsteht für positive reelen Zahlen a und b ein Widerspruch,

Ich sehe da noch keinen Widerspruch.

29.05.2007, 15:12

Musti

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Wenn ich quadriere habe ich stehen $\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2<4ab \end{eqnarray*}$ . Muss ich vllt. noch die 4ab rüberbringen dann habe ich stehen $\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2<0 \end{eqnarray*}$ . Das wäre $\begin{eqnarray*} (a-b)^2<0 \end{eqnarray*}$ .

Hier müsste dann aber der Widerspruch entstehen verwirrt

verwirrt

Denn eine Zahl zum quadrat ergibt eine Zahl die positiv ist und dadurch >0.

Stimmt das?

29.05.2007, 16:04

Dunkit

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meiner Meinung nach ja ;-)

29.05.2007, 16:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Hier müsste dann aber der Widerspruch entstehen verwirrt

verwirrt

Denn eine Zahl zum quadrat ergibt eine Zahl die positiv ist und dadurch >0.

Stimmt das?

Prinzipiell ja, bis auf die Kleinigkeit, daß das Quadrat einer Zahl auch Null sein kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2007, 16:45

Musti

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Alles klar ich danke euch

Wink

Wink

29.05.2007, 18:17

Airblader

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Falls ich eine kleine Anschlussfrage noch stellen darf:

Zum ersten Beweis (wenn 1<x, dann x<x^2) nämlich ... ist diese Aussage nicht genauso trivial wie der hier dann gepostete Beweis? verwirrt

verwirrt

Bzw. ab wann gilt etwas als "ersichtlich" um es als Grund anerkennen zu können?

Danke schonmal smile

smile

air

29.05.2007, 21:10

system-agent

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genau ab dann wenns etweder in axiomen steht oder schon bewiesen wurde. formal muss man auch zuerst mal $\begin{eqnarray*} x^2\geq0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beweisen

29.05.2007, 22:02

Airblader

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Also geht man bei dem Beweis davon aus, dass $\begin{eqnarray*} x(1-x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle 1>x bereits bewiesen ist? (Ein Axiom wird es ja wohl nicht sein).

air

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