Seilkurve

29.05.2007, 18:02

Gargy

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Seilkurve

Hallo,

Wink

ich brauche mal ein bisschen Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Ein biegsamer Faden ist an 2 Punkten A und B aufgehängt (auf gleicher Höhe). A und B haben den Abstand 2l. Angenommen, der Faden sei länger als 2l und nähme die Form einer Parabel an. Die Durchbiegung sei p. Berechne die Länge s des Fadens in Abhängigkeit von l und p.

Wie ich die Länge einer Kurve berechne ist mir klar:

$\begin{eqnarray*} s = \int \sqrt{1+(y')²} ~ dx \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß nicht, wie ich die Funktion aufstelle. Irgendwie hat es mit cosh zu tun... soviel habe ich verstanden. Aber wie mache ich das jetzt? verwirrt

verwirrt

29.05.2007, 18:12

WebFritzi

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RE: Seilkurve

Zitat:

Original von Gargy
Irgendwie hat es mit cosh zu tun... soviel habe ich verstanden.

Nein, ich glaube, du hast gar nichts verstanden:

Zitat:

Original von Gargy
der Faden sei länger als 2l und nähme die Form einer Parabel an.

Wo ist da ein cosh??? Also, du kannst einfach annehmen, dass sich der Punkt (0,0) am Fuße des Fadens befindet. Jetzt kannst du deine Funktionsgleichung aufstellen, denn du hast 3 Punkte auf der Parabel.

29.05.2007, 18:13

Tomtomtomtom

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Deine Aufgabe ist etwas verwirrend. Also du kannst sagen "Angenommen das Seil nimmt die Form einer Parabel an". Dann kannst du deine Aufgabe lösen. Stell dir ein Koordinatensystem vor, der Nullpunkt liegt symmetrisch zwischen den beiden Aufhängungspunkten am tiesten Punkt des Seils. Dann hast du drei Punkte gegeben (den Nullpunkt und die beiden Aufhängungspunkte) und durch diese ist eine Parabel eindeutig bestimmt. Um die auszurechnen eine allgemeine PArabel ax^2+bx+c ansetzen, deine drei Punkte einsetzen, und das lineares GLS in a,b,c lösen. Wenn du dann die Parabel hast, kannst du die Formel verwenden, um die Kurvenlänge zu bestimmten.

Das hat aber nur bedingt etwas mit Seilkurven zu tun, weil eine Seilkurve ist nun mal keine Parabel, sondern läßt sich eher wie du schon geschrieben hast in Termen von cosh ausdrücken. Näheres findest du unter http://de.wikipedia.org/wiki/Katenoide , dort ist auch ein kleines Bildchen, das verdeutlicht, daß die Annahme, daß es sich nahrungsweise um eine Parabel handelt, ok ist.

Edit: 1 Minute zu langsam böse

böse

29.05.2007, 18:19

Gargy

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okay, da das mit dem cosh von mir ist, soll ich wohl die Parabel finden... ('tschuldigung, dass ich was dazu gelesen habe - muss man ja nicht gleich so fies antworten traurig

traurig

)

Wenn ich euch richtig verstanden habe, setze ich also einfach die Punkte ein und erhalten ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen, richtig?

Das sollte in der Tat zu schaffen sein... Ich mach das jetzt mal und stell dann mal meinen Weg hier hin. Vielen Dank so weit.

29.05.2007, 18:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gargy
'tschuldigung, dass ich was dazu gelesen habe - muss man ja nicht gleich so fies antworten traurig

traurig

Doch, muss man. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn es ist nicht gut, gleich irgendwelche Literatur zu bemühen. Erstmal selber etwas nachdenken. Du hast es ja nicht einmal so weit gebracht, dass du dir die Aufgabe ordentlich angeschaut hast. Das verdient Prügel! LOL Hammer

LOL Hammer

Big Laugh

Augenzwinkern

Ne, ich meine das shon ein bißchen ernst. Lehrer

Lehrer

29.05.2007, 18:49

Gargy

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Gott

na gut, WebFritzi rules! Hast ja recht.

Aber das war jetzt doch merkwürdig einfach und ich glaube fast, dass es immer noch etwas zu meckern gibt. Hier mal meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} y=ax²+bx+c \end{eqnarray*}$

Meine bekannten Punkten:

A (-l;p)
B (l;p)
S (0;0)

1.
$\begin{eqnarray*} 0=a \cdot 0² + b \cdot 0 + c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} p = a \cdot l²+b \cdot l+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b=\frac{p-a \cdot l²}{l} \end{eqnarray*}$

3.
$\begin{eqnarray*} p = a \cdot l²-b \cdot l+c=a \cdot l²-\frac{p-a \cdot l²}{l} \cdot l \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2 \cdot al² -p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2p= 2al² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a=\frac{p}{l²} \end{eqnarray*}$

D.h.

$\begin{eqnarray*} y=\frac{p}{l²}x²+ \frac{p-a \cdot l²}{l}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=2\frac{p}{l²}x+\frac{p-a \cdot l²}{l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y')²=(2\frac{p}{l²}x+\frac{p-a \cdot l²}{l})² \end{eqnarray*}$

Und damit ist dann

$\begin{eqnarray*} s= \int_{-l}^{l} ~ \sqrt{1+(2\frac{p}{l²}x+\frac{p-a \cdot l²}{l})²} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = 2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+(2\frac{p}{l²}x+\frac{p-a \cdot l²}{l})²} ~dx \end{eqnarray*}$

Hm, damit frage ich mich dann nur noch, wie ich das jetzt lösen soll unglücklich

unglücklich

.

Ich denke mal, ich löse zuerst die Klammer auf... aber da sieht die Sache nicht einfacher aus.

$\begin{eqnarray*} s = 2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+4(\frac{p}{l²})²x²+4 \cdot \frac{p}{l²}x \cdot \frac{p-a \cdot l²}{l}+(\frac{p-a \cdot l²}{l})² } ~dx \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

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29.05.2007, 19:08

Tomtomtomtom

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Du weißt doch, daß y' auf jeden Fall linear ist, d.h. y'(x)=cx+d (das sind jetzt andere Konstanten als vorhin).

Versuch doch erstmal, das Integral für so ein allgemeines y' auszurechnen, und danach erst deine berechneten Koeffizienten einzusetzen. Ich habs nicht durchgerechnet, aber als erstes würde ich dann noch u=cx+d substituieren. Und dann wird dem Integral schon irgendwie beizukommen sein. Versuchs mal!

29.05.2007, 19:18

WebFritzi

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@Gargy: Warum zum Teufel schleppst du die ganze Zeit das a mit? Das hast du doch schon lange ausgerechnet. Wenn du das mal einsetzt, wird das ganze sehr leicht.

29.05.2007, 20:01

Tomtomtomtom

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Oder so

Freude

30.05.2007, 22:34

Gargy

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Big Laugh

$\begin{eqnarray*} s=2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+(2\frac{p}{l²}x+ \frac{p-\frac{p}{l²} \cdot l²}{l})²} ~ dx=2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+(2\frac{p}{l²}x+ \frac{p-p}{l})²} ~ dx= 2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+(2\frac{p}{l²}x)²} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+4\frac{p²}{l^{4}}x²} ~dx \end{eqnarray*}$

Soo, aber ab hier weiß ich dann doch nicht mehr weiter... Habe eine Substitution mit $\begin{eqnarray*} sinh(u) \end{eqnarray*}$ probiert, aber da bleibt ein x bei drin, das ich nicht los werde. verwirrt

verwirrt

So ein Mist. Kann bitte noch einmal jemand helfen?

30.05.2007, 22:49

Gargy

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Na gut, nehmen wir an, ich hätte schon wieder nicht bis zum Ende gedacht...

$\begin{eqnarray*} \frac{2px}{l²}=sinh(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx= \frac{cosh(u) \cdot l²}{2p} ~ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=2 \cdot \int_{0}^{l} ~ \sqrt{1+sinh²(u)} \cdot \frac{cosh(u) \cdot l²}{2p} ~ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s= \frac{l²}{p} ~ \int_{0}^{l} ~ cosh²(u) ~du \end{eqnarray*}$

Wie also integriere ich $\begin{eqnarray*} cosh²(u) \end{eqnarray*}$ ?

31.05.2007, 00:15

Tomtomtomtom

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Wie ist denn cosh u definiert?

31.05.2007, 08:16

Gargy

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$\begin{eqnarray*} cosh(u)= \frac{1}{2} \cdot (e^{u}+e^{-u}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cosh²(u)= \frac{1}{4} \cdot (e^{u}+e^{-u})²= \frac{1}{4} \cdot (e^{2u}+2+e^{-2u}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s= \frac{l²}{p} \cdot \frac{1}{4} ~ \int_{0}^{l} ~ (e^{2u}+2+e^{-2u}) ~ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{l²}{4p} ~ [\frac{e^{2u}}{2} + 2u - \frac{e^{-2u}}{2}]_{0}^{l}= \frac{l²}{4p} ~ (\frac{e^{2l}}{2} + 2l - \frac{e^{-2l}}{2} - \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

So?

31.05.2007, 10:03

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = 0, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2l}}{2} - \frac{e^{-2l}}{2} = sinh(2l). \end{eqnarray*}$

01.06.2007, 14:08

Gargy

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Ach ja, ist doch klar!!Wenn ich mal nicht immer so langsam wäre...

Jedenfalls ist mein Ergebnis folgendes:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{sinh(2l)+2l³}{4p} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Hilfe. Das es richtig ist, weiß ich aus der Übung schon. Tanzen

Tanzen

01.06.2007, 14:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gargy
Jedenfalls ist mein Ergebnis folgendes:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{sinh(2l)+2l³}{4p} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Hilfe. Das es richtig ist, weiß ich aus der Übung schon. Tanzen

Tanzen

Es ist aber falsch. Zumindest, wenn dein Ergebnis oben stimmt. Dann kommt nämlich raus:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{l^2sinh(2l)+2l^3}{4p}. \end{eqnarray*}$

01.06.2007, 14:24

Gargy

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Ja, richtig, das steht auch so bei mir aufm Papier. Habe ich wohl vergessen, dass l² noch einzufügen... Forum Kloppe

Forum Kloppe

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