Summenberechnung - endliche Reihe

29.05.2007, 21:16

-Gernot-

Summenberechnung - endliche Reihe

Hallo!

Wie kann ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~cos(2k-1)x \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~sin(2k-1)x \end{eqnarray*}$

mit der Formel

$\begin{eqnarray*} e^{i*x}=cosx+i*sinx \end{eqnarray*}$

berechnen? Hat jemand einen Tipp für mich? unglücklich

Liebe Grüße,

Gernot

29.05.2007, 21:36

Tomtomtomtom

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Tipp:
Eulersche Formel aufsummieren.
Dann gut hinsehen und die geometrische Reihe erkennen.

29.05.2007, 22:11

-Gernot-

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Tipp:
Eulersche Formel aufsummieren.
Dann gut hinsehen und die geometrische Reihe erkennen.

Hm, ich seh keinen Zusammenhang zwischen zB.

$\begin{eqnarray*} 6e^{i*x}=6cosx+i*6sinx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~cos(2k-1)x \end{eqnarray*}$

29.05.2007, 22:16

Tomtomtomtom

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Aufsummieren für x=2k-1 , k=1..n.

29.05.2007, 22:46

-Gernot-

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Aufsummieren für x=2k-1 , k=1..n.

Ich glaub ich brauch ne Brille verwirrt

$\begin{eqnarray*} e^{i(2k-1)}=cos(2k-1)+i*Sin(2k-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~e^{i(2k-1)}=\sum_{k=1}^n~{cos(2k-1)+isin(2k-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{i}+e^{3i}+e^{5i}+e^{7i}+...=cos(1)+cos(3)+cos(5)+cos(7)+...+isin(1)+isin(3)+isin(5)+isin(7)+... \end{eqnarray*}$

29.05.2007, 22:49

Tomtomtomtom

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$\begin{eqnarray*} e^{i}+e^{3i}+e^{5i}+e^{7i}+...=e^{i}+e^{i}e^{2i}+e^{i} (e^{2i})^2+... \end{eqnarray*}$

29.05.2007, 23:11

-Gernot-

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
$\begin{eqnarray*} e^{i}+e^{i}e^{2i}+e^{i} (e^{2i})^2+... \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich das wieder in Real- und Imaginärteil aufspalten für meine beiden Reihen?

29.05.2007, 23:24

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Vor dem Aufspalten steht erstmal eine Zusammenfassung der Summe mittels Partialsummenformel der geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$ ,

gültig für alle komplexen $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ , also z.B. auch für $\begin{eqnarray*} q=e^{2i} \end{eqnarray*}$ .

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