Stetigkeit - Maximum Minimum

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15.01.2005, 16:16	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit - Maximum Minimum Hallo, ich habe immer Probleme mit Aufgaben wo keine wirkliche Funktion gegeben ist. Also auch mit der folgenden. Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \to\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und es gelte $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = 0 = \lim_{x \to -\infty } f(x) \end{eqnarray}$ Dann besitzt f ein Minimum oder ein Maximum und \|f\| besitzt ein Maximum auf IR. Mir ist die Idee mit dem Satz von Weierstraß gekommen. Weil der besagt ja, laut dem Teubner Taschenbuch, das jede stetige Funktion $\begin{eqnarray} f:[a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ein Minimum und ein Maximum besitzt. Also das es Punkte $\begin{eqnarray} \alpha ,\beta \in [a,b] \end{eqnarray}$ gibt. Dann würde ich folgendes erhalten. $\begin{eqnarray} f(\alpha )\leq f(x)\leq f(\beta ) \end{eqnarray}$ Aber hier weiß ich nicht weiter, da das Intervall ja von unendlich bis -undendlich läuft. Ansonsten fällt mir da noch die Differentialrechnung ein, aber es mir nicht weiter. Vielleicht würde eine Erklärung der Aufgabe zu meinem Verständnis schon etwas weiter helfen. Gruß Yoko
15.01.2005, 16:20	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit - Maximum Minimum Dann besitzt f ein Minimum oder ein Maximum und \|f\| besitzt ein Maximum auf IR. das ist falsch so wie das da steht (modulo Definition von Min und Max) nimm f = 0
15.01.2005, 16:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da man bei Minimum/Maximum auch immer die Gleichheit zuläßt, ist das kein Gegenbeispiel. Der Satz ist richtig.
15.01.2005, 16:33	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
und \|f\| besitzt ein Maximum auf IR. schließt natürlich nicht aus das \|f\| auch ein Minimum besitzt ich weiß ich kenn den Krampf
15.01.2005, 16:54	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit - Maximum Minimum das ist falsch so wie das da steht (modulo Definition von Min und Max) Soll das heißen das die Aufgabe falsch gestellt ist? Wie lautet denn die Modulo Def von Min und Max? gruß yoko
15.01.2005, 17:02	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit - Maximum Minimum Nein, lies Leopolds Beitrag
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15.01.2005, 18:21	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
angenommen ich wolle zeigen das das mit dem minimun und maximum stimmt wenn die lim sache gilt wie gehe ich dann mit dem f(x) um?
15.01.2005, 18:45	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sache sagt vereinfacht folgendes aus: f kann im endlichen Bereich nicht unendlich werden weil f stetig ist und im unendlichen Bereich kann f nicht unendlich werden wegen der vorgegebenen Grenzwerte. Demnach muss f nach oben oder unten beschränkt sein, aber das wirst ja schon gewusst haben . . für alle x0 aus R existiert f(x0), weil wegen der Stetigkeit f(x0)= lim[x->x0] f(x) gilt muss f(x0) existieren und zwar endlich. Wegen lim[x->+-oo]f = 0 gibt es zu jedem d>0 xd aus R sodass gilt \|f(xd)\|< d für alle x links -xd und recht +xd auf deutsch f wird rechts und links dieser Schranken nicht mehr 'größer' als d wie man nun argumentieren kann dass sie ihren Extremwert als HP auch miteinschließen muss fällt mir derweil nicht ein, jedenfalls ist sie auf endlichem Bereich endlich und hat daher ein Sup oder Inf usw. will mich garnicht in dieses Glump begeben ... ich denke wenn du 'deinen Satz' bemühst kommst leichter über die Runden weil du dir über den anderen Quatsch keine Gedanken machen brauchst, so in dem Stil ... . ich finde es ekelhaft wenn man die Mathematik zu ernst nimmt (das ist gegen keine Person gerichtet oder gedacht und schon garnicht gegen dich, sondern ist einer meiner Standpunkte) --------------------------------------------------------------- Mich leicht in Schuld fühlend will ich nochmal anders drauf antworten. Mal unterstellt dein Satz von oben leistet das was du vorgibst, dass er es leiste, dann kannst das so machen Nimm ein beliebiges abgeschlossenes Intervall [a,b] mit f<>0 dann hat f dort ein Max. u. Minimum nach deinem Satz. Der 'Einfachheit' halber will ich mich nur mal um das Max M kümmern, notfalls sei es eben für ein (-f) zu betrachten. Nun gibt es wegen der Existenz der beiden Grenzwerte Zahlen xm aus R sodass gilt Für alle x < -xm und x > +xm ist \|f(x)\| < M das heißt aber nichts anderes als dass \|f\| außerhalb des Intervall [-xm,xm] kleiner M ist und mindestens M innerhalb des Intervalles erreicht wird sofern nur a,b auch innerhalb liegen. Liegt a oder b außerhalb dann wird das Intervall [-xm,xm] einfach soweit nach rechts und links erweitert dass sie nun innerhalb von [-xm',xm'] liegen. Nach deinem Satz muss die Fkt f nun in diesem Intervall ein Max und Min haben und wegen der Konstuktion ist dies auch das globale Maximum. sieh wie du's verbessern und was du daraus machen kannst, ich hoffe es ist wenigstens verständlich
17.01.2005, 13:11	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, könntest du mir sagen wie die Funktion aussehen könnte wo der Grenzwert beidseitig gegen null läuft? Irgendwie fehlt mir das Verständnis zu dieser Aufgabe obwohl die recht simple scheint. Gruß Yoko
17.01.2005, 13:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein passendes Beispiel wäre $\begin{eqnarray} \quad f(x)=e^{-x^2} \end{eqnarray}$
17.01.2005, 14:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder noch einfacher: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{1+x^2} \ \text{ (blau)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = x \cdot \frac{1}{1+x^2} \ \text{ (rot)} \end{eqnarray}$

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