Markov Kette

30.05.2007, 09:28

piloan

Markov Kette

Die WK der Markov-Kette erster Ordnung lautert ja $\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} \in A | X_t=x_t,..X_0=x_0)=P (x_t,A) \end{eqnarray*}$ .Nun soll ich nachweisen

1.) $\begin{eqnarray*} P(X_{t+k} \in A | X_t=x_t,..X_0=x_0)=P^k (x_t,A) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} )P(x_t \in A)=P_0 * P^t(A) \end{eqnarray*}$

Hat einer eine Idee ?

Grüße

30.05.2007, 09:47

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Hmm, das hängt natürlich wesentlich davon ab, wie du dieses $\begin{eqnarray*} P^k \end{eqnarray*}$ definierst. Dessen Definition ist schon der halbe Beweis. Außerdem solltest du dazusagen, dass es hier um eine homogene Markov-Kette geht - es gibt ja auch andere, nicht homogene MK.

P.S.: Im Matheraum heißt du cutter, oder? Augenzwinkern

30.05.2007, 09:59

piloan

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hi

$\begin{eqnarray*} P^k(x_t,A)=P*..*P(x_t,A) \end{eqnarray*}$ und das k-mal smile

30.05.2007, 11:00

piloan

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ah ...da du ja angemerkt hast ,dass es relativ einfach ist, mein versuch:

$\begin{eqnarray*} P(X_{t+k} \in A | X_t=x_t,..X_0=x_0)= P(X_{t+k}=x_{t+k}|X_t=x_t)=\frac{P(X_{t+k}=x_{t+k},X_t=x_t)}{P(X_t=x_t)} \end{eqnarray*}$

und nun muss ich ja aus dem letzten Term ein Produkt bilden das folgende
Form hat

$\begin{eqnarray*} \frac{P(X_{t+1}=x_{t+1},X_t=x_t)}{P(X_t=x_t)} \end{eqnarray*}$ und das k-mal

Grüße

31.05.2007, 09:50

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Beim "Beweis-Aufschrieb" wäre es noch ganz hilfreich zu erfahren, über welchen Zustandsraum der Markov-Kette wir hier reden: diskret, stetig, oder ganz allgemein?

Nur im diskreten Fall kannst du nämlich sowas machen

Zitat:

Original von piloan
$\begin{eqnarray*} \frac{P(X_{t+k}=x_{t+k},X_t=x_t)}{P(X_t=x_t)} \end{eqnarray*}$

im stetigen Fall hast du im Nenner (im Zähler natürlich auch) i.a. eine Null...

Also wie sieht's aus: Du betrachtest hier ausschließlich einen diskreten Zustandsraum, ja?

31.05.2007, 19:24

piloan

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Wir hatten nur die Definiton:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ von ZV mit Werten in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , sd $\begin{eqnarray*} P(X_0 \in A)=P_0(A), A \in A \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} \in A | X_t=x_t,..X_0=x_0)=P(X_{t+1} \in A|X_t=x_t)=P (x_t,A) \end{eqnarray*}$
heißt Markov Kette auf (\Omega,A) mit Startverteilung $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ und Kern P.

Gruß

31.05.2007, 19:30

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Ok, also allgemeiner Zustandsraum mit den oben von mir genannten Konsequenzen. Dann noch eine Frage: Wie habt ihr dann die Faltung $\begin{eqnarray*} P*Q \end{eqnarray*}$ geschrieben - als Lebesgue-Integral über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ?

01.06.2007, 00:04

piloan

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tja da bin ich ein wenig ueberfragt...ist eigentlich nur angewandte statistik...und da haben wir garnichts mit mit maßen und integralen geschrieben.....den maßtheorie schnick schnack habe ich in einem anderen fach Augenzwinkern

01.06.2007, 08:45

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Aber du musst doch wissen, wie du aus den beiden Übergangsmaßen $\begin{eqnarray*} P(x,A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(x,A) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} (P*Q)(x,A) \end{eqnarray*}$ ermittelst? Die Ausrede auf ein "anderes Fach mit dem Schnickschnack" ist da wenig hilfreich.

Ich frage ja auch nur deshalb, weil es da keine klare Symbolik gibt, auf die sich alle geeinigt haben - einige schreiben es so

$\begin{eqnarray*} (P*Q)(x,A) = \int\limits_{y\in\Omega} ~ Q(y,A) ~ P(x,\dd y) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. Integration bzgl. des Maßes $\begin{eqnarray*} P(x,\cdot) \end{eqnarray*}$ . Andere verwenden wieder eine abweichende Symbolik.

Deshalb ja meine Frage, ob nicht vielleicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ diskret (also abzählbar) ist, dann könnte man das alles schön als Summen schreiben...

01.06.2007, 09:36

piloan

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Ja ich denke es handelt sich um ein diskretes $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

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