Raum stetiger Funktionen stetigkeit und diffbarkeit

30.05.2007, 11:08

SilverBullet

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Raum stetiger Funktionen stetigkeit und diffbarkeit

Aufgabe :

Zitat:

Für den normierten Raum E = C[0,1] der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1] mit der Maximumsnorm betrachte man das Funktional $\begin{eqnarray*} \varphi : E \rightarrow R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \int_{0}^{1}~sinx(t)~dt \end{eqnarray*}$

Zeigen sie :
a) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist stetig.
b) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist in allen Punkten $\begin{eqnarray*} x \in E \end{eqnarray*}$ in alle Richtungen $\begin{eqnarray*} v\in E \end{eqnarray*}$ differenzierbar, und es gilt
$\begin{eqnarray*} (D_v\varphi)(x) = \int_{0}^{1} (cosx(t))v(t)dt \end{eqnarray*}$

So leider habe ich richtig Probleme bei der Aufgabe und würde die gerne einmal step by step mit euch bearbeiten. Wäre super wenn sich jemand erbarmen könnte.

Also zu a)
Ich soll ja zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ welche stetige Funktionen aus E nimmt und in das Integral oben einsetzt und dann auf den Raum der Reellen zahlen wird stetig ist.
Wie gehe ich da ran ?
Ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht schon automatisch stetig, da man ja praktisch nur kompositionen stetiger Funktionen hat ?

30.05.2007, 11:14

WebFritzi

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Wende das Epsilon-Delta-Kriterium an. Dabei musst du |phi(x) - phi(y)| für zwei stetige Fkt'en x und y abschätzen.

30.05.2007, 11:53

SilverBullet

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Hmm echt epsilon delta ?
Wäre cool wenn ich das irgendwie umgehen könnte da ich das einfach nur hasse.

Die Abbildungen müssten doch linear sein oder täusche ich mich ?

30.05.2007, 12:13

Tomtomtomtom

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Dann nimm halt alpha und beta, wenn dir epsilon und delta nicht gefallen Big Laugh

Big Laugh

30.05.2007, 13:03

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Hmm echt epsilon delta ?
Wäre cool wenn ich das irgendwie umgehen könnte da ich das einfach nur hasse.

Dann mach halt keine Analysis.

Zitat:

Original von SilverBullet
Die Abbildungen müssten doch linear sein oder täusche ich mich ?

Man versteht dich nicht! unglücklich

unglücklich

30.05.2007, 13:29

Ambrosius

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$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist ja ein Funktional. Hattet ihr denn nicht den Satz das eine lineare Abbildung T zwischen normierten Räumen E unf F stetig ist, genau dann wenn es ein M > 0 gibt mit $\begin{eqnarray*} || T x ||_{F} \leq M \cdot ||x||_{E} \end{eqnarray*}$

Dabei sollen die Indizes bei den Normen den Raum andeuten indem die Norm ist. Ein Funktional ist ja eine besondere lineare Abbildung, also musst du dir nur kurz überlegen wie du so eine Abschätzung hinbekommst und welche Normen in einem Fall auftreten.

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30.05.2007, 13:49

SilverBullet

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Zitat:

Man versteht dich nicht! unglücklich

1. Du verstehst mich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

2. Vielleicht so deutlicher : Ist die Abbildung linear ?

@ Ambrosius :

Ja genau darauf wollte ich mit meiner Frage hinaus. Denn diesen Satz kann man ja nur anwenden wenn es eine lineare Abbildung ist.

Der Grund warum ich gefragt habe war eigentlich weil wir absolut nie gesagt haben was überhaupt ein "Funktional" ist.

30.05.2007, 14:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet

Zitat:

Man versteht dich nicht! unglücklich

1. Du verstehst mich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nene, man kann dich so nicht verstehen, da es hier nur eine Abbildung gibt und nicht mehrere. Also kann man nicht wissen, was du meinst. Ich habe dir das schonmal gesagt: versuche, dich deutlicher auszudrücken. Dann kann man dir auch besser helfen.

Zur Aufgabe: Natürlich ist das Ding NICHT linear. Sieht man doch auf den ersten Blick! Also ist Ambrosius' Anmerkung auch hinfällig. Jetzt setz dich mal dran und versuch dich am Epsilon-Delta.

30.05.2007, 14:27

Ambrosius

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Ein Funktional ist eine (lineare) Abbildung von einem Vektorraum in den Grundkörper.

Es gibt sowohl lineare als auch nichtlineare Funktionale. Meinen obigen Tipp kann man nur auf lineare Funktionale verwenden. Das sollte auch nur ein Hinweis sein mal nachzuschauen ob ihr nicht einen ähnlichen Satz für nichtlineare Funktionale (wie in diesem Fall) habt. Dahingehend kenne ich mich jedoch nicht weiter aus.

30.05.2007, 14:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ambrosius
Ein Funktional ist eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den Grundkörper.

Nein. Das ist ein lineares Funktional. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein Funktional ist eine Abbildung von einem Vektorraum in den Grundkörper. So. smile

smile

30.05.2007, 14:32

Ambrosius

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Jup, danke ist mir schon aufgefallen und schon korrigiert smile

smile

30.05.2007, 15:18

SilverBullet

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Verdammt dabei sah das schon so schön aus was ich hier grad probiert hatte unglücklich

unglücklich

naja ok also dann probier ich es einfach mal und hoffe auf Unterstützung.

$\begin{eqnarray*} \mid \int_{0}^{1}~sinx(t)~dt - \int_{0}^{1}~sinx_0(t)~dt\mid \leq ... \end{eqnarray*}$

Da denke ich mir jetzt :
Integrieren muss ich nach t. Und x muss ich ja eigentlich vorher ausrechnen. Der Sinus ist aber nach oben durch 1 und nach unten durch -1 beschränkt daher kann ich vielleicht so abschätzen :

$\begin{eqnarray*} \mid \int_{0}^{1}~t~dt + \int_{0}^{1}~t~dt\mid = 2t^2 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Hmm hab keine Ahnung ob der Anfang überhaupt so richtig ist. Kann mir dazu jemand was sagen ?

30.05.2007, 15:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Hmm hab keine Ahnung ob der Anfang überhaupt so richtig ist.

Ja, der ist richtig. Alles andere ist haarsträubender Humbuk. Ich hab dir schonmal gesagt, dass du wissen musst, was du tust, anstatt irgendwelche Sachen hinzuschreiben, die du nicht begründen kannst. Sowas ist nämlich meistens falsch! Warum fasst du bei deinem Anfang (der ja richtig ist) nicht erstmal die Integrale zusammen und benutzt dann die Standard-Abschätzung?

30.05.2007, 15:52

SilverBullet

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Alles klar also zusammenfassen würde ich das zu :

$\begin{eqnarray*} \mid (sinx-sinx_0) \int_{0}^{1}~t~dt \mid \end{eqnarray*}$

Würde ich jetzt weiterschreiben käm da wieder das selbe wie oben raus unglücklich

unglücklich

Was ist denn die Standartabschätzung ? Ich hätte jetzt probiert den Term (sin_x - sin_x0) wegzubekommen.
Begründet hätte ich es eigentlich wie oben das ja x und x0 reellwertige Funktionen sind und damit sin_x-sin_x0 höchstens den Wert 2 annehmen kann.

30.05.2007, 15:54

Ambrosius

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aber sind $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ nicht Funktionen??? So einfach rausziehen ist da nicht....

Ich denk mit Standardabschätzung meinte WebFritzi die "Dreicksungleichung"

$\begin{eqnarray*} | \int f(x) dx | \leq \int |f(x)| dx \end{eqnarray*}$

30.05.2007, 16:14

WebFritzi

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Sag mal SilverBullet, willst du mich veräppeln??? Ich habe dir gerade noch geschrieben, du sollst WISSEN, was du schreibst, und dann schreibst du da solche einen Mist hin... Das zeigt, dass du überhaupt keine Ahnung hast, was du da machst und was das für Objekte sind, die da stehen. Warum fragst du dann nicht erstmal, anstatt so einen Quatsch zu produzieren? unglücklich

unglücklich

30.05.2007, 16:18

SilverBullet

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Achso jetzt hab ich zumindest kappiert wie das da gemeint ist mit sinx(t)*lol*

Ok also zusammenfassen des Integrals und die Abschätzung liefert :

$\begin{eqnarray*} \mid \int_{0}^{1}~sin(x(t)) - sin(x_0(t))~dt \mid \leq \int_{0}^{1}~\mid sin(x(t)) - sin(x_0(t))\mid~dt \end{eqnarray*}$

Edit : Ja das mit den "Objekten" stimmt schon ^^ Sorry

Aber das was da jetzt steht stimmt bis dahin doch erstmal hoffe ich ^^

30.05.2007, 16:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Aber das was da jetzt steht stimmt bis dahin doch erstmal hoffe ich

Ja. Und jetzt benutzt du, dass die Sinus-Funktion glm. stetig ist auf IR (warum ist sie das?).

30.05.2007, 17:00

SilverBullet

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Nun ich würde sagen, dass der Sinus gleichmäßig stetig ist da wir hier ein Kompaktes Intervall vorliegen haben [0,1].

Verstehe aber nicht wie ich die gleichmäßige Stetigkeit hier verwenden soll

30.05.2007, 17:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Nun ich würde sagen, dass der Sinus gleichmäßig stetig ist da wir hier ein Kompaktes Intervall vorliegen haben [0,1].

Achso, und x und x_0 bilden [0,1] auch immer auf [0,1] ab? Außerdem hatte ich geschrieben, dass sin auf ganz IR glm. stetig ist. Lies doch mal ordentlich, was die anderen schreiben. Warum kannst du es einfach nicht lassen, so schnell in deinen Gedankengängen zu sein?

30.05.2007, 17:26

SilverBullet

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Warum ich das hier nicht lassen kann ist einfach...

ich hab absolut keine Ahnung warum der Sinus auf einmal gleichmäßig stetig sein soll. Ich meine wir hätten mal gesagt das er nur stetig ist.
Da sin aber anscheinend doch gleichmäßig stetig sein soll (sonst würdest du das ja nicht schreiben) habe ich probiert mich an das einzige zu Klammern was mir noch eingefallen ist.
Und unter diesen Umständen habe ich einfach gehofft das die stetigen reellwertigen Funktionen auf [0,1] auch ihre Bilder auf [0,1] haben. Mein Gedanke dabei war halt wenn da steht eine Funktion auf [x,y] dann hat die Funktion sowohl Werte als auch Bilder nur in [x,y]. Gut war ein Fehler wie ich deinem Post entnehmen kann.. Weiter weiß ich nun trotzdem nicht

30.05.2007, 21:52

system-agent

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der sinus ist gleichmässig stetig, da er über die exponentialreihe definiert ist und diese ist eben auch gleichmässig stetig

30.05.2007, 22:31

SilverBullet

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Alles klaro aber wie soll man das denn hier ausnutzen ?

31.05.2007, 09:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Alles klaro

Ich glaub dir nicht, dass dir das klar ist, sorry. Beweise das!

Ich finde, die gleichmäßige Stetigkeit lässt sich einfacher über die Periodizität einsehen. sin ist auf [0,4 * pi] glm. stetig. Jetzt folgert man, dass sin auch über IR glm. stetig ist.

01.06.2007, 12:17

SilverBullet

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Ja auch wenn das hier absolut nichts mehr bringt hab ja gesagt epsilon delta ist murks Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und dein Beweis zur gleichmäßigen Stetigkeit ist auch klar... Wir hatte da auch den Satz der irgendwie so ging :

Seien a < b reelle Zahlen und f:[a,b] -> IR stetig dann ist f auch gleichmäßig stetig auf [a,b].
Jo und das klappt wie du auch gezeigt hast beim sinus wunderbar da er wie du sagtest periodisch ist (genauer 2pi-periodisch).

Haben einen schönen Satz in der Vorlesung gehabt womit sich der erste Teil der Aufgabe quasi direkt gelöst hat also sogar ganz ohne Epsilon und Delta *freu*
Hatten leider keinen Namen für den Satz aber er fordert,

Sei X ein top. Raum und $\begin{eqnarray*} I =[a,b] \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein kompaktes Intervall, sowie f: (X x I) -> IR eine stetige Fkt.

Dann ist auch die Funktion
F: X -> IR, $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{a}^{b}~f(x,t) dt \end{eqnarray*}$ stetig !

01.06.2007, 12:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Sei X ein top. Raum und $\begin{eqnarray*} I =[a,b] \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein kompaktes Intervall, sowie f: (X x I) -> IR eine stetige Fkt.

Dann ist auch die Funktion
F: X -> IR, $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{a}^{b}~f(x,t) dt \end{eqnarray*}$ stetig !

OK... Was sind denn in unserem Fall X, I und f ? Und warum ist f stetig? Brauchst du da evtl. wieder Epsilon-Delta? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von SilverBullet
Haben einen schönen Satz in der Vorlesung gehabt womit sich der erste Teil der Aufgabe quasi direkt gelöst hat also sogar ganz ohne Epsilon und Delta *freu*

Dann schau mal in den Beweis des Satzes...

01.06.2007, 13:17

SilverBullet

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Also X ist ja der Topologische Raum und in unserem Fall ist das E mit der Norm.
Die Elemente aus X sind bei uns die stetigen Funktionen.
I das Kompakte Intervall ist bei uns [0,1]
Die funktion klein f ist bei uns einfach nur der sin im Integral.
Und groß F ist bei uns $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

01.06.2007, 13:21

WebFritzi

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Nee, du hast es nicht verstanden und falsch eingesetzt... f muss fest sein!

01.06.2007, 13:22

SilverBullet

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ja hatte hinten angefangen zu schreiben ^^ Dann war alles durcheinander habs editiert

01.06.2007, 13:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Die funktion klein f ist bei uns einfach nur der sin im Integral.

Verstehe ich nicht. Was genau ist f? Bist du imstande dazu, das zu definieren?

01.06.2007, 13:38

SilverBullet

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Da gibt es absolut nichts zu definieren. Der Satz verlangt eine stetige Fkt
f:(X x I) -> IR und die haben wir mit sin : (E x I) -> IR.

01.06.2007, 13:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Da gibt es absolut nichts zu definieren.

Doch!

Zitat:

Original von SilverBullet
sin : (E x I) -> IR

Das allein ist schon Blödsinn. sin geht höchstens von I nach IR, aber nicht von E x I nach IR.

01.06.2007, 13:46

SilverBullet

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Was warum das denn ?
Wenn ich die Funktion f = sin(x) habe und für x (e,I) einsetzte habe ich :

sin(e(i)) und für mich nimmt das einen Wert auf R an

01.06.2007, 13:53

WebFritzi

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Man, du drückst dich sooo scheiße aus. Das gibt's schon gar nicht mehr. Hier:

Zitat:

Original von SilverBullet
Wenn ich die Funktion f = sin(x) habe und für x (e,I) einsetzte habe ich :

sin(e(i)) und für mich nimmt das einen Wert auf R an

Nein! Wenn du (e,I) einsetzt (was totaler Blödsinn ist!), hast du sin((e,I)). Auch Quatsch! Du meintest:

"Wenn ich die Funktion f = sin(x) habe und für x e(i) einsetzte habe ich :
sin(e(i)) und für mich nimmt das einen Wert auf R an."

Dann schreib das doch bitte auch. Zumindest, wenn ich dir helfen soll. Dazu habe ich in Zukunft keine Lust mehr, wenn du unverständlichen Mist schreibst. Das hier wird auch das letzte mal sein, dass ich dich kritisiere. Ich habe einfach keine Lust mehr dazu.

Also: sin: E x I -> IR ist Quatsch, weil du in den Sinus reelle Zahlen einsetzt und keine Paare (x,t) aus E x I. Du meinst folgendes:

$\begin{eqnarray*} f : E \times I \to \mathbb{R},\quad f(x,t) := sin(x(t)). \end{eqnarray*}$

Und das ist eine Definition. So, und jetzt zeig mir, dass dieses f stetig ist, denn das brauchst du, um deinen Satz anwenden zu können.

01.06.2007, 14:05

SilverBullet

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Die Funktion f ist als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig.

Das die Sinusfunktion stetig ist, ist nach vorherigen Beiträgen mehr als klar.
Die Funktion x ist nach Vorraussetzung stetig, denn x kommt ja aus dem Raum E der stetigen Funktionen auf [0,1].

01.06.2007, 14:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Die Funktion f ist als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig.

Das die Sinusfunktion stetig ist, ist nach vorherigen Beiträgen mehr als klar.
Die Funktion x ist nach Vorraussetzung stetig, denn x kommt ja aus dem Raum E der stetigen Funktionen auf [0,1].

Tja, da siehst du etwas falsch. Es ist richtig, dass für festes x aus E die Funktion

$\begin{eqnarray*} t\mapsto f(x,t) = sin(x(t)) \end{eqnarray*}$

stetig ist. Das ist, was du meinst. Aber x variiert. Es tut mir leid, aber hier muss man auch Epsilon-Delta anwenden.

01.06.2007, 14:14

SilverBullet

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Sorry aber bevor ich wieder Stuss schreibe frage ich lieber nach :

Warum hindert mich die Tatsache, dass x variiert daran den Satz zu verwenden das eine Funktion f als Komposition stetiger Funktionen wieder fest ist ?

Ja x ist fest aber es ist doch beliebig. Gilt das dann nicht für alle x aus E ?

01.06.2007, 14:23

WebFritzi

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Ja, das tut es. Und? Das beweist nichts. Dann könntest du ja auch t festhalten. Und das geht eben nicht. Vielleicht mal mit Folgen anstatt mit Epsilon-Delta. Man muss zeigen, dass folgendes gilt:

Seien $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (t_n)\subset [0,1] \end{eqnarray*}$ Folgen mit $\begin{eqnarray*} x_n\to x\in E \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t_n\to t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Dann folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_n,t_n) = f(x,t). \end{eqnarray*}$

Man kann hier die gleichmäßige Stetigkeit des Sinus heranziehen. Aber noch viel einfacher wird es, wenn man erkennt, dass der Sinus sogar Lipschitz-stetig ist:

$\begin{eqnarray*} |\sin(x) - \sin(y)| \le |x - y| \;\text{ für alle }\;x,y\in\mathbb{R}. \end{eqnarray*}$

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