Grenzwert einer Reihe

30.05.2007, 12:34

Indurain

Grenzwert einer Reihe

Ich brauche einen Tipp um folgenden Grenzwert zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}\left(-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-x)^n}{1+x^n}\right) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schon mal...

30.05.2007, 13:24

WebFritzi

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Die Reihe konvergiert lediglich für x = 0. Also macht der Grenzwert für x -> 1 gar keinen Sinn.

30.05.2007, 13:29

Indurain

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Zitat:

Original von WebFritzi
Die Reihe konvergiert lediglich für x = 0. Also macht der Grenzwert für x -> 1 gar keinen Sinn.

Nein, das stimmt nicht und der Grenzwert lautet: 0,25!

Vielleicht schreib ich's mal anders auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{1+x}-\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^3}{1+x^3}-\ldots\right)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

30.05.2007, 13:31

Indurain

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Wie der Grenzwert 0,25 berechnet wird sehe ich leider noch nicht. verwirrt

30.05.2007, 13:43

WebFritzi

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Ja, sehe ich auch gerade. Hab zu schnell geschlossen. Sorry.

30.05.2007, 13:44

Orakel

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also zunächst konvergiert die reihe absolut für jedes 0<x<1, denn

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{1+x^n}\le \sum_{n=1}^\infty x^n \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} x^n>0 \end{eqnarray*}$ . der grenzwert könnte also durchaus sinn machen.

30.05.2007, 13:59

Orakel

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ich bezweifle erhlich gesagt, dass die reihe im "randpunkt" x=1 konvergiert. das sieht man ja eigentlich schon an der darstellung, oder?!

30.05.2007, 14:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Orakel
ich bezweifle erhlich gesagt, dass die reihe im "randpunkt" x=1 konvergiert.

Das behauptet auch keiner.

30.05.2007, 14:06

Orakel

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ok, das stimmt, evtl kann man fie funktion in x=1 fortsetzen.

30.05.2007, 14:10

Indurain

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RE: Grenzwert einer Reihe
Habe eben folgende Aussage in unseren Unterlagen gefunden:

Sei $\begin{eqnarray*} a_n>0, ~a_n-a_{n+1}>0, ~a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}>0. \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{2}<a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-\ldots<a_1-\frac{a_2}{2}. \end{eqnarray*}$

Mit
$\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{x^n}{1+x^n} \end{eqnarray*}$
folgt dann die Behauptung - oder ?!?!

30.05.2007, 14:17

Dual Space

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ja, das wäre richtig. Würde es dir was ausmachen den Beweis zu dieser Behauptung zu posten?

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Grenzwert einer Reihe

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