harmonische Reihe

Neue Frage »

Indurain Auf diesen Beitrag antworten »
harmonische Reihe
In der harmonischen Reihe entferne man alle Summanden, deren Nenner die Ziffer 9 enthält.
Die daraus resultierende Reihe konvergiert und ihre Summe ist kleiner als 80.

Ich habe nicht den blassesten Schimmer wie diese Aussage zu beweisen sein soll. Hat jemand eine Idee?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, für mich ist die harmonische Reihe die folgende:



Wenn ich da jetzt den Summanden für n = 9 rausnehme, divergiert die natürlich immernoch.
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Äh, für mich ist die harmonische Reihe die folgende:



Wenn ich da jetzt den Summanden für n = 9 rausnehme, divergiert die natürlich immernoch.


Ne ne, alle Summanden deren Nenner die ZIFFER 9 enthält. Also 1/9, 1/19, 1/29, ...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, sollen alle Summanden entfernt werden, deren Nenner die Ziffer 9 enthält. Also n aus {9, 19, 29, 39, ...}

Hab aber spontan auch keine Idee, wie man da Anfangen könnte. verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke. Jetzt raff ich's erst...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Da man sich hier vermutlich zahlentheoretischer Mittel bedienen muss (!?) verschiebe ich mal nach "Sonstiges".

*verschoben*
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir, wieviele Zahlen es zwischen 1 und 9, 10 und 99, 100 und 999, usw. gibt, die Neunen als Ziffern enthalten.

Wenn du dann alle jeweiligen (im Nenner n-stelligen) Summenglieder der Reihe entsprechend zusammenfasst und diese jeweils durch 1, usw. abschätzt, erhälst du eine geometrische Reihe, die genau passt.

Grüße Abakus smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens kann man ganz ähnlich zeigen, dass der Wert der Summe sogar kleiner als 28 ist Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht so der Kombinatoriker hab's aber trotzdem mal versucht...
Also, natürliche Zahlen mit der Ziffer 9 gibt es:
1 1-stellige
18 2-stellige
252 3-stellige
3168 4-stellige ...
und allgemein formuliert

(n+1)-stellige Zahlen, die eine 9 enthalten.
Wie solls denn damit nun weitergehen...?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Sei M die Menge aller natürlichen Zahlen, in deren Dezimalschreibweise die Ziffer 9 nicht vorkommt. Dann gilt



Letztere Summe kann man mit Hilfe von kombinatorischen Überlegungen ganz einfach berechnen. "Summiert" man die rechte Seite von i=1 bis Unendlich auf, kommt man genau auf die Zahl 80.


Gruß, therisen
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Sei M die Menge aller natürlichen Zahlen, in deren Dezimalschreibweise die Ziffer 9 nicht vorkommt. Dann gilt



Letztere Summe kann man mit Hilfe von kombinatorischen Überlegungen ganz einfach berechnen. "Summiert" man die rechte Seite von i=1 bis Unendlich auf, kommt man genau auf die Zahl 80.


Gruß, therisen


Okay, es gibt n-stellige Zahlen und davon sind ohne die Ziffer 9.
Also gilt:



und somit:



Oh je, da hab ich ganz schön auf der Leitung gestanden...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Freude
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: harmonische Reihe
Zitat:
Original von Indurain
Die daraus resultierende Reihe konvergiert und ihre Summe ist kleiner als 80.


Diese Behauptung ist also noch nicht hieb- und stichfest bewiesen.
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: harmonische Reihe
Zitat:
Original von WebFritzi
Diese Behauptung ist also noch nicht hieb- und stichfest bewiesen.

Warum?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

kleiner als 80.
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Bei genauer Betrachtung sollte dem geneigten Leser das '' nicht entgehen.



und

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bei genauem Nachdenken, sollte dem Indurain nicht entgangen sein, dass auch = bedeuten kann...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Bei peinlich genauer Auslegung der Aufgabe müsste aber statt gelten. Ist das sicher?
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Bei genauem Nachdenken, sollte dem Indurain nicht entgangen sein, dass auch = bedeuten kann...


Du großer Geist erhelle mich armen Toren, denn Deiner Anmerkung zu folgen, das vermag ich nicht...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich springe mal ein Augenzwinkern

Gezeigt ist bisher nur, dass

Laut Aufgabenstellung ist aber zu zeigen, dass .



Gruß, therisen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Indurain
Zitat:
Original von WebFritzi
Bei genauem Nachdenken, sollte dem Indurain nicht entgangen sein, dass auch = bedeuten kann...


Du großer Geist erhelle mich armen Toren, denn Deiner Anmerkung zu folgen, das vermag ich nicht...


LOL Big Laugh Na, siehe therisens Post. Ist natürlich einfach, das zu zeigen, aber die Aufgabe muss schließlich auch ordentlich behandelt werden, ne.
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Ich springe mal ein Augenzwinkern

Gezeigt ist bisher nur, dass

Laut Aufgabenstellung ist aber zu zeigen, dass .

Gruß, therisen


Auwei, das stellt natürlich eine äußerst schwerwiegende Komplikation dar. smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann mach mal. Wenn's sooo einfach ist, wirst du es ja hier in 10 Minuten gepostet haben. Augenzwinkern
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Na, dann mach mal. Wenn's sooo einfach ist, wirst du es ja hier in 10 Minuten gepostet haben. Augenzwinkern


Wenn Du einsiehst, dass 1/n > 1/(n+k) für alle natürlichen k,n dann können wir dieses Kapitel von mir aus abschliessen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mach ma nicht so ne breite Brust hier... Wenn du einsiehst, dass aus



auch



folgen kann, dann bist du auf dem richtigen Dampfer.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Krümelkackerei, wo man doch sofort die Stelle in therisens Post sieht, wo man das < durch ein echtes < ersetzen kann...

Interessanter finde ich es, wie man die Schranke 80 ohne große Neubetrachtungen "drücken" kann. Naheliegend ist da, ein Anfangsstück der Summe exakt zu berechnen und den Rest dann genauso wie therisen abzuschätzen. Wenn das Anfangsstück bei der Zehnerpotenz endet, sieht das so aus:



Für erhält man , für dann , für schließlich , ...


EDIT: Ok, vergesst es - man kommt ja viel schneller zu kleineren Schranken. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Was für eine Krümelkackerei...


Wenn es das für dich ist... Objektiv gesehen ist es das nicht, denn es könnte sein, dass Indurain aus meinem Einwand etwas lernt. Sei doch lieber etwas vorsichtigermit deinen Worten, ja?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts gegen Exaktheit, aber im vorliegenden Fall ist sowas von klar, dass man hier

Zitat:
Original von therisen

auch < schreiben kann, und zwar für jedes , dass man nicht unbedingt so drauf herumreiten muss.

Und was "vorsichtig mit Worten" betrifft, da sitzt du selbst im Glashaus.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Nichts gegen Exaktheit, aber im vorliegenden Fall ist sowas von klar, dass man hier

Zitat:
Original von therisen

auch < schreiben kann, und zwar für jedes , dass man nicht unbedingt so drauf herumreiten muss.


Das hatten wir schon diskutiert. Denk dir was neues aus.


Zitat:
Original von Arthur Dent
Und was "vorsichtig mit Worten" betrifft, da sitzt du selbst im Glashaus.


Das ist richtig. Nur bei mir ist es so, dass ich mich entschuldige, wenn ich falsch lag. Bei dir habe ich das zumindest noch nie gesehen...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, warum du so aggressiv bist. unglücklich

Nenne mir mal bitte einige fachliche Beispiele hier im Board, wo ich falsch lag und das nicht zugegeben habe.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hier zum Beispiel. Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn das alles war, kann ich mich gelassen zurücklehnen. smile

Tut mir leid, wenn du wegen der Sache hier noch sauer bist, aber als "arroganter Sack" solltest du das eigentlich schlucken. Wink


P.S.: Indurain hat vollkommen angemessen und passend reagiert

Zitat:
Original von Indurain
Wenn Du einsiehst, dass 1/n > 1/(n+k) für alle natürlichen k,n dann können wir dieses Kapitel von mir aus abschliessen.

damit war die Sache ausreichend erledigt. Die Erwiderung von WebFritzi mit dem Grenzwert ist ohne Belang für die Aufgabe hier, denn so eine derartige Grenzwertbildung einer Ungleichung liegt hier nicht vor, sondern eher sowas:

Seien und zwei konvergente Reihen mit sowie für mindestens ein . Dann gilt

,

also nicht nur <.
Indurain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ich weiß jetzt nicht, warum du so aggressiv bist. unglücklich


Mach Dir nix draus - er hat wohl mehr Spass an Zurechtweisungen und blindem Formalismus als an konstruktiven und sachlichen Eingaben.
Willkommen im Land der Schildermacher und Besserwisser.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Erwiderung von WebFritzi mit dem Grenzwert ist ohne Belang für die Aufgabe hier, denn so eine derartige Grenzwertbildung einer Ungleichung liegt hier nicht vor, sondern eher sowas:

Seien und zwei konvergente Reihen mit sowie für mindestens ein .


Lieber Arthur, das ist mir schon klar. Es hätte ja aber sein können, dass es Indurain nicht klar gewesen ist. Soweit ich weiß, ist er ja erst im ersten Semester. Aber wenn das hier eh egal ist. Meinetwegen.

@Indurain: Ich finde es ziemlich arm von dir, dass du im Nachhinein noch sticheln musst, während ich dir nur helfen wollte. Fühlst dich auch ganz sicher mit Arthur an deiner Seite, ne... Augenzwinkern Weißt du, es gibt da so einige, die ich in meinem Studium kennengelernt habe, die gerne gesagt haben: "Ach, das ist doch klar. Sieht man doch!" Pfft. Aber wenn man sie dann genauer gefragt hat, wussten sie auch nicht weiter. Solche Leute kennt der Arthur sicher auch. Kann sein, dass du so einer bist. Ich weiß es nicht. Aber ist ja jetzt auch egal.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Tut mir leid, wenn du wegen der Sache hier noch sauer bist, aber als "arroganter Sack" solltest du das eigentlich schlucken. Wink


Ja, du hast recht. Auch meine Anschuldigung war nicht OK:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ich bin in diesem Thread zunehmend unhöflich zu dir geworden, dafür entschuldige ich mich vielmals.


Entschuldigung.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »