Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen

30.05.2007, 14:35

Selek

Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen

Hallo, das ist mein erster Beitrag hier. Also, mache gerade das Abitur per Fernschule nach. Bin jetzt relativ am Ende und hab mich bis jetzt immer irgendwie durchgewurschtelt. Aber mit diesem Thema (Lineare Algebra) tue ich mich echt schwer. Nachdem ich in mühsamer Kleinarbeit zu den meisten Aufgaben, die ich dazu einschicken muss, eine Lösung gefunden habe, scheitere ich jetzt bei der Aufgabe, die im Thema beschrieben ist. Ich bin einfach zu blöd dazu. Das wäre der letzte Schritt, um die Aufgabe zu lösen.
Es wäre absolut super, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte. Gott

Ich schreibe jetzt nicht die ganze Aufgabe, denn die war relativ umfangreich. Im Verlauf dieser Aufgabe müssen zwei Ebenengleichungen gefunden werden, und eine Geradengleichung. Ich habe da:
E1 = (0;0;0) + r * (-2;1;0) + s * (-3;0;1)
E2 = (0;0;0) + t * (1;4;3) + u * (-1;2;3)
g1 = (1;1;1) + v * (1;4;-3)
Bei denen bin ich mir auch ziemlich sicher, dass die stimmen. Nun soll ich aber aber noch die Schnittgerade von E1 und E2 finden und die entsprechende Geradengleichung aufstellen, außerdem soll ich zeigen, wie sie sich zu g1 verhält.
Ich weiß, dass man die Schnittgerade dadurch erhält, dass man die beiden Ebenengleichungen gleichsetzt. Das ist mir irgendwo auch voll peinlich, weil das ja im Grunde nichts anderes ist, als einfach auszurechnen, aber ich kriege es einfach nicht hin. Ich hab es schon zigmal versucht und verhaspel mich jedes Mal. Das letzte Mal hatte ich bei dem Versuch g2 = (0;0;0) + t * (-0,5;7;7,5) raus... dann wären die Geraden ja windschief zueinander. Weil mir das dann aber schon komisch war, fragte ich bei jemandem nach, und der versicherte mir, die beiden Geraden wären NICHT windschief. Ein anderes Ergebnis krieg ich aber nicht. Ich bin echt zu blöd dafür. traurig

30.05.2007, 16:11

Zellerli

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Das ist Geometrie. In der Geometrie wird man dir schneller helfen können.

Ich bin in Geo nicht so der Crack und krieg wenn ich 3mal so ein GS löse 3verschiedene Ergebnisse Augenzwinkern

, aber die Geometrie Leut können dir sicher helfen.

Ich schreibs dir mal in Latex (das ist ein Quellcode, den wir hier für Formeln nehmen) um, damit es einfacher zu erkennen ist.

zwei Ebenen E_1 und E_2 sollen geschnitten werden und die Schnittgerade (heißt g_2) mit g_1 verglichen werden:

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{X}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2: \vec{X}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_1: \vec{X}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.05.2007, 17:13

Bjoern1982

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Hi

Also ich erhalte schonmal eine andere Schnittgerade als du.
Mir persönlich gefällt der Weg über die Koordinatengleichungen der Ebenen besser, vielleicht probierst du es nochmal auf diese Weise, sofern ihr die Koordinatenform einer Ebene schon hattet.

Ansonsten müsstest du uns schon deinen Rechenweg schildern damit man auf Fehlersuche gehen kann.
Durch Gleichsetzen und Lösen des LGS sollte es aber auch funktionieren.

Und bei mir sind die beiden Geraden übrigens sehr wohl windschief Augenzwinkern

Gruß Björn

31.05.2007, 23:41

Selek

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Hi, Sorry Leute, hatte Spätschicht und heute morgen vergessen zu gucken. Danke für die Antworten...
@Zellerli
Das ist Geometrie? Echt? Soll ich das denn dort einfach nochmal schreiben oder kann das verschoben werden? (Oder kann es doch hier bleiben?)

@Bjoern1982
Na schön, ich schreib einfach mal meinen wirren Gedankengang auf, der zu meinem letzten Ergebnis geführt hat, womit ich mich garantiert zum Vollaffen mache:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}- t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix}- u\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

I
$\begin{eqnarray*} -2r- 3s- t+ u= 0 \end{eqnarray*}$
II
$\begin{eqnarray*} r- 4t- 2u = 0 \end{eqnarray*}$
III
$\begin{eqnarray*} s- 3t- 3u = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt meine kläglichen Versuche das umzuformen:

$\begin{eqnarray*} I + 2\cdot II: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3s - 9t - 3u = 0 \end{eqnarray*}$ wäre dann I'

III
$\begin{eqnarray*} s - 3t - 3u = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III + 3\cdot I': \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -18t - 12u = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = -\frac{3}{2} t \end{eqnarray*}$

eingesetzt in E2:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}-\frac{3}{2} t\cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}1,5 \\ -3 \\ -4,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-0,5 \\ 7 \\ 7,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist ja ganz schön mühselig mit diesem LaTEX. Oder bin ich sogar dafür zu blöd? Ich hoffe man steigt durch. Koordinatengleichungen? Sagt mir grade nichts. Dann hatten wir das wohl wirklich noch nicht. Oder kann ich nur gerade mit dem Begriff nichts anfangen? Kannst du mal ein Beispiel geben?
Jetzt mach mich aber hier nicht schwach. Das war bei dir auch windschief? Nicht dass meine bisherigen Ansätze auch falsch waren. Ich brech ins Essen!

01.06.2007, 00:11

Bjoern1982

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Du hast FAST alles richtig gemacht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}1,5 \\ -3 \\ -4,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-0,5 \\ 7 \\ 7,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast dich hier unten nur verrechnet Augenzwinkern

Ansonsten ist doch alles prima Freude

Gruß Björn

01.06.2007, 11:48

Zellerli

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Ja, das ist analytische Geometrie.
Ja, ein Moderator kann es verschieben.

Aber jetzt ist ja alles geklärt und eine Verschiebung nicht mehr notwendig Augenzwinkern

01.06.2007, 17:38

Selek

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Bin ich da mit den Vorzeichen durcheinander gekommen?
Also wäre es dann so:

$\begin{eqnarray*} g_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2,5 \\ 1 \\ -1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig?
Dann wären die trotzdem windschief. Versteh ich nicht. Mir wurde gesagt, dass g2 eigentlich parallel zu g1 sein müsste. verwirrt

Aber ich kann mir echt nicht vorstellen, dass die Gleichungen zu E1, E2 und g1 falsch sind. Bin aber schon etwas verunsichert...
Wie auch immer, vielen Dank für eure Hilfe. Gott

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