Satz von Lebesgue

30.05.2007, 15:07

Yussuf

Satz von Lebesgue

also wenn man in der Analysis das n-dimensionale Lebesgue-Maß und das Lebesgue Integral behandelt wird in Beweisen oftmals der Satz von Lebesgue über die dominierte Konvergenz benutzt. Den Satz versteh ich auch soweit, nur nicht wie das im Fall des Riemann Integrals ist. Das eindimensional LebesgueIntegral stimmt doch mit dem Riemannintegral überein oder nicht?

30.05.2007, 15:23

WebFritzi

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RE: Satz von Lebesgue

Zitat:

Original von Yussuf
Das eindimensional LebesgueIntegral stimmt doch mit dem Riemannintegral überein oder nicht?

Nein. Das Lebesgue-Integral kann viel mehr. Ein oft zitiertes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f : [0,1]\to\mathbb{R},\;\;f(x) := \begin{cases}0 \;\text{ für rationales }x\\1 \;\text{ für irrationales }x\end{cases}. \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist Lebesgue- aber nicht Riemann-integrierbar.

30.05.2007, 15:35

Yussuf

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okay. also ist es so: Jede Riemann-integrierbare Fkt. ist Lebesgue-integrierbar, aber die umkehrung gilt nicht.

Mal angenommen, ich führe einen Beweis über ein Riemann integral unter der Voraussetzung das alle im Beweis auftauchenden Riemannintegrale existieren. Darf ich dann Konvergenzsätze wie den über die dominierte oder auch monotone Konvergenz anwenden obwohl es sich um Riemann-Integrale handelt?

Mein Problem ist, das ich folgendes nicht verstehe:

Der Prof führt einen Beweis mit Hilfe des Lebesgue Integrals im |R^n. Dann muss es aber doch auch für n=1 also für |R gelten. Und dann wäre in dem Fall doch Konvergenzsätze für das L-Integral auf das Riemannintegral angewendet.

30.05.2007, 16:04

WebFritzi

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Du machst es dir viel zu kompliziert. Ist f Riemann-integrierbar, so ist f auch Lebesgue-integrierbar, und die Integrale sind gleich. Das gilt allerdings nicht für uneigentliche Integrale. Z.B. gilt

$\begin{eqnarray*} R-\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx = 0, \end{eqnarray*}$

aber diese Funktion ist über [-1,1] nicht Lebesgue-integrierbar.

30.05.2007, 16:06

Yussuf

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also ist es so, das ich bei riemannintegralen die konvergenzsätze des L-Integrals verwenden darf?

30.05.2007, 16:15

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Zitat:

Original von WebFritzi
Z.B. gilt

$\begin{eqnarray*} R-\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

Hmm, hier meinst du wohl eher den Cauchyschen Hauptwert dieses Integrals. Das Riemann-Integral an sich existiert nämlich nicht, auch nicht "normal" uneigentlich.

30.05.2007, 16:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von WebFritzi
Z.B. gilt

$\begin{eqnarray*} R-\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx = 0 \end{eqnarray*}$

Hmm, hier meinst du wohl eher den Cauchyschen Hauptwert dieses Integrals. Das Riemann-Integral an sich existiert nämlich nicht, auch nicht "normal" uneigentlich.

Also ich kenne das so:

$\begin{eqnarray*} R-\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx = \lim_{r\downarrow 0}\int_{-1}^{-r} \frac{1}{x}\,dx + \int_{r}^1 \frac{1}{x}\,dx. \end{eqnarray*}$

30.05.2007, 16:22

WebFritzi

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OK, ich habe nachgelesen. Es geht beim uneigentlichen Integral nur um die Intervallgrenzen, was hier nicht so ist.

30.05.2007, 16:32

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Mit "normal" uneigentlich meine ich die Existenz von

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\substack{r\searrow 0\\s\searrow 0}} \left[ \int\limits_{-1}^{-r} ~ \frac{1}{x} ~ \dd x ~ + ~ \int\limits_{s}^1 ~ \frac{1}{x}~ \dd x \right] \end{eqnarray*}$ ,

und die ist hier nicht gegeben. Schränkt man den Grenzwertprozess auf die "Kopplung" $\begin{eqnarray*} r=s \end{eqnarray*}$ ein, dann landet man eben beim Cauchyschen Hauptwert.

30.05.2007, 16:34

Yussuf

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nochmal meine Frage:

also ist es so, das ich bei riemannintegralen die konvergenzsätze des L-Integrals verwenden darf?

momentan versteh ich nur hbf smile

30.05.2007, 16:38

WebFritzi

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Sagen wir mal, du integrierst nur über beschränkte Intervalle und alle zu integrierenden Funktionen sind R-integrierbar, dann ja. Hatte ich dir oben eigentlich auch schon indirekt beantwortet.

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