Konvergenzradius - komplexe Potenzreihe

30.05.2007, 16:55

-Gernot-

Konvergenzradius - komplexe Potenzreihe

Hallo,

Wie kann ich am besten den Konvergenzradius der (komplexen) Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{\frac{n^n}{n!}z^n } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{z^{n^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{z^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

bestimmen?

Liebe Grüße,

Gernot

30.05.2007, 17:07

WebFritzi

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Tja, was macht dir denn z.B. bei der ersten Probleme?

31.05.2007, 00:15

-Gernot-

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Zitat:

Original von WebFritzi
Tja, was macht dir denn z.B. bei der ersten Probleme?

Den Konvergenzradius der ersten Reihe habe ich mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \mid \frac{a_n}{a_{n+1}}\mid \end{eqnarray*}$ bestimmt (1/e).

Bei der zweiten finde ich kein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Bei der dritten gelingt es mir nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^2}{n^2}= 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

31.05.2007, 09:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von -Gernot-
Bei der dritten gelingt es mir nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^2}{n^2}= 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Ähem... Schulstoff. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{n^2}= \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1+\frac{1}{n}\right)^2\longrightarrow 1^2 = 1. \end{eqnarray*}$

Oder auch

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{1}\longrightarrow \frac{1 + 0 + 0}{1} = 1. \end{eqnarray*}$

31.05.2007, 10:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von -Gernot-
Bei der zweiten finde ich kein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Du könntest auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~{z^{n^2} } \end{eqnarray*}$ das Wurzelkriterium anwenden und schauen, für welche z das konvergiert.

31.07.2007, 20:31

kommando_pimperlepim

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Für die zweite Reihe findet man das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}z^{n^{2}}=z^{0}+z^{1}+z^{4}+...\Rightarrow a_{n}=\begin{array}{cc} 1 & n=k^{2},k\in\mathbb{N}_{0}\\ 0 & sonst\end{array} \end{eqnarray*}$

oder falls die Doppelpotenz anders gemeint war:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}\left(z^{n}\right)^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{2n}=z^{0}+z^{2}+z^{4}+...\Rightarrow a_{n}=\begin{array}{cc} 1 & n=2k,k\in\mathbb{N}_{0}\\ 0 & sonst\end{array} \end{eqnarray*}$

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