Lücken in der Folge von Primzahlen! |
| 15.01.2005, 17:50 | Kopfzerbrechen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lücken in der Folge von Primzahlen!
Hallo! Ich brauch mal wieder eure Hilfe! Und zwar haben wir eine neue Übungsaufgabe. Ich hab darüber zwar schon einiges im Netz gefunden, aber so richtig hilft mir das auch nicht weiter. Aufgabe: Da 120=1*2*3*4*5 ist, kann man so schließen: 122 kann keine Primzahl sein, weil 120+2 gerade sein muss, 123 nicht, weil 120+3 durch drei teilbar sein muss, ... Wie weit geht dieses Schlussweise gut? Benutzen Sie nun diese Schlussweise, um zu zeigen; In der Folge von der natürlichen Zahl gibt es einen Abschnitt von 100 aufeinanderfolgenden Zahlen, unter denen keine einzige Prinzahl zu finden ist. Gibt es mer als nur diese eine Primzahllücke der Länge 100? Gibt es vielleicht auch eine Primzahllücke der Länge 1000, 1 000 000, s? Also ich weiß das es solche Lücken gibt. Man kann die mit n!+2 ... n!+n beweisen. Jedoch ist dieses bestimmt nicht Ziel der Aufgabe. Hat einer von euch eine Idee wie man die Aufgabe einfacher lösen könnte? Ich wär euch über jeden Hinweis dankbar! Danke! |
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| 15.01.2005, 17:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast die Lösung doch schon selbst genannt. Und die ist doch auch einfach. Mit einfachen Mitteln wirst du mehr nicht erreichen. |
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| 15.01.2005, 17:55 | Kopfzerbrechen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber auf natürlichen Rechenweg komme ich doch nicht auf die Lücke. Ich kann doch schlecht schreiben dass es eine Lücke bei 100!+2 bis 100!+100 gibt! Oder ist das so korrekt? |
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| 15.01.2005, 17:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
101!+2 bis 101!+101, dann ist es korrekt. 
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| 15.01.2005, 18:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist korrekt. Viele Beweise in der Mathematik gehen so, daß man ein Verfahren sich sozusagen nur theoretisch klar macht, die praktische Ausführung aber wegen Kapazitätsüberschreitung unterläßt. (Die von dir festgestelle Lücke umfaßt aber nur 99 Zahlen.) |
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| 15.01.2005, 18:24 | Kopfzerbrechen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, vielen Dank an euch. Dann ist es ja doch einfach als man sich es vorgestellt hat. |
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| 15.01.2005, 18:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Schwerer wird es nur bei konkreten Größenbeschränkungen, wie etwa folgender Aufgabe:
Dort muss man sich dann schon ein wenig mehr anstrengen als bei der Antwort 41!+2,...,41!+41.
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| 17.12.2008, 00:32 | leereimkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und in welchem Abschnitt finde ich nun eine Reihe mit 1000 Lücken? Ich sitze an der selben Aufgabe... |
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| 17.12.2008, 00:36 | leereimkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und ich frage mich, warum 101+2 keine Primzahl ist? Für mich ist sie das.... |
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| 17.12.2008, 06:48 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
101+2=103 mag ja auch eine Primzahl sein. Aber 101!+2 eben nicht. Nimm eine Zahl x. Dann ist x! durch jede Zahl von 1 bis x per Definition teilbar. Dann ist auch jede Zahl x!+p mit 2 <= p <= x nicht prim. p kommt dann nämlich in der Produktdarstellung von x! vor, lässt sich ausklammern und so ist x!+p durch p teilbar. air |
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| 21.12.2008, 16:56 | schnarf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hey aber wieso muss man denn dann bei 101! beginnen? ich verstehe den zusammenhang irgendwie nich. muss oder kann man das irgendwie beweisen?? lg |
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| 21.12.2008, 16:59 | schnarf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und gibt es mehr als nur diese eine primzahllücke der länge 1000?? |
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| 21.12.2008, 17:12 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso sollte man das beweisen müssen? 
Der Zusammenhang wird dir sicherlich klar, wenn du dir den obigend Thread durchliest. 101! muss man nehmen, weil man nicht sicher sagen kann, ob 100!+1 eine Primzahl ist oder nicht. Natürlich muss es dann auch Intervalle geben, die größer als 1000 sind und keine Primzahl enthalten. Nimmt man so ist in diesem Fall das Intervall unendlich groß. Man kann also zeigen, dass es sowohl unendlich viele Primzahlen als auch unendlich große Intervalle ohne Primzahlen geben muss. |
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| 21.12.2008, 17:24 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Zusammenhang besteht vermöge der Aufgabenstellung. Es sollte eine Primzahllücke der Länge 100 in den natürlichen Zahlen gefunden werden, d.h. 100 aufeinanderfolgende natürlichen Zahlen, von denen keine Primzahl ist. Dies kann eben so geschehen, dass man zeigt 101! + 2, 101! + 3, ..., 101! + 101 sind aufeinanderfolgend und keine davon ist Primzahl. 101! ist nur der sinnvolle Anfangspunkt für eine Primzahllücke der Länge 100. Es wird auch nicht gesagt, dass diese Primzahllücke genau die Länge 100 hat. Wenn Du eine Lücke der (Mindest)Länge 13542 suchst, beginnst Du bei 13543! + 2 und schaust bis 13543! + 13543. |
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