Norm eines Ideals

30.05.2007, 19:13

norm-ideal

Norm eines Ideals

Hallo zusammen,

wie beweise ich folgende Aussage:
$\begin{eqnarray*} N(ab)=N(a)N(b) \end{eqnarray*}$
(a,b zwei Ideale, N=Norm)

vielen Dank im Voraus

31.05.2007, 00:34

Abakus

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RE: Norm eines Ideals
Was bedeutet dieses $\begin{eqnarray*} N(a) \end{eqnarray*}$ bzw. wie ist das definiert ?

Grüße Abakus smile

31.05.2007, 09:37

norm-ideal

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RE: Norm eines Ideals
N(a) ist Norm eines Ideals a
und ist definiert als N(a)=[O:a]
d.h. Index von a in O, und O ist der Ganzheitsring

02.06.2007, 21:52

Abakus

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RE: Norm eines Ideals

Zitat:

Original von norm-ideal
N(a) ist Norm eines Ideals a
und ist definiert als N(a)=[O:a]
d.h. Index von a in O, und O ist der Ganzheitsring

Denke bitte daran, dass ich deinen Kontext zur Aufgabe nicht kenne. Für den Ganzheitsring brauchst du einen rationalen Zahlenkörper, der fehlt hier aber verwirrt

. Als Ausgangsbasis fehlt mir auch der zugrunde liegende Ring usw.

Grüße Abakus smile

02.06.2007, 22:54

norm-ideal

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RE: Norm eines Ideals
$\begin{eqnarray*} K = \mathbb Q (\sqrt{d} ) \end{eqnarray*}$ = quadratischer Zahlkörper, d quadratfrei und keine Quadratzahl

$\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$
und heißt der Ring der ganzen Zahlen

$\begin{eqnarray*} O = \mathbb Z*1 + \mathbb Z*\sqrt{d} , falls d\equiv 2 oder 3 mod 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O = \mathbb Z*1 + \mathbb Z* \frac{1 + \sqrt{d}}{2}, falls d\equiv 1 mod 4 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} 1, \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1, \frac{1 + \sqrt{d}}{2} \end{eqnarray*}$ sind Basen von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$

Diskriminante $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist das Quadrat der Determinante von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} D = 4d , falls d \equiv 2 oder 3 mod 4 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} D = d , falls d \equiv 1 mod 4 \end{eqnarray*}$

Ideal von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Oa = a \end{eqnarray*}$

Norm von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} N(a) = [O:a] \end{eqnarray*}$
LG

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