Polynomdivision in Z/(3)

15.01.2005, 18:06	Bier	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision in Z/(3) Also die Aufgabe lautet: Finden Sie Polynome q,r in Z modulo 3, so dass gilt: $\begin{eqnarray} x^6+x^4+x^2+2x=(2x^2+x+1)q+r \end{eqnarray}$ und Grad (r)<2 So dann hab ich mir gedacht, dass man einfach $\begin{eqnarray} x^6+x^4+x^2+2x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 2x^2+x+1 \end{eqnarray}$ teilt so lange wie kein x dabei in den Nenner wandert. Der Teil den man dann nicht verrechnen kann ist dann r. So dann hab ich mal angefangen: $\begin{eqnarray} x^6+x^4+x^2+2x : (2x^2+x+1)=2x^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x^6+2x^5+2x^4)=-2x^5-2x^4 \end{eqnarray*}$ Wie macht man jetzt weiter? was ist -2x^5 in Z modulo 3 ?
15.01.2005, 18:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision in Z/(3) Nicht aufhören - weiter dividieren, jetzt also $\begin{eqnarray} (-2x^5-x^4+x^2+2x) : (2x^2+x+1) \end{eqnarray}$ usw., bis der Rest den Grad <2 hat! EDIT: Du kannst natürlich jedesmal auch die Koeffizienten in den Bereich 0..2 verschieben - Geschmackssache: $\begin{eqnarray} (x^5+2x^4+x^2+2x) : (2x^2+x+1) \end{eqnarray}$
15.01.2005, 19:05	Bier	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich hab jetzt nach 500maligem Rechnen folgendes raus $\begin{eqnarray} q=2x^4+2x^3+2x+1\ r=2x+2 \end{eqnarray}$ wenigstens ist das der Lösung im Buch sehr ähnlich ;-) $\begin{eqnarray} q=2x^4+2x^3+x+1\ r=2x+1 \end{eqnarray}$ Dass die Lösung im Buch falsch ist, hab ich zumnidest beim Nachrechnen rausbekommen.... hauptsache ich weiß prinzipiell wie das geht. Wie kann man eigentlich mit negativen Zahlen weiterrechnen ohne diese davor in positive Zahlen umzurechnen?
15.01.2005, 20:12	Bier	Auf diesen Beitrag antworten »
So nächste Aufgabe: Zerlegen Sie die Polynome x^4+1 x^4+x^3+x+1 x^5+1 aus Z modulo 2 [x] in irreduzible Polynome Wie macht man das systematisch? Ich mein das 1. Polynom kann man mit der binomischen Formel mal in (x^2+1) (x^2-1) zerlegen und diese Polynome kann man wieder mit dem binom. weiter aufdröseln in (x+1) (x-1) (x+1) (x+1), und da man in Z modulo 2 ist wird aus dem (x-1) ein (x+1), also erhält man (x+1)^4=x^4+1 Aber was macht man bei den anderen Polynomen? Und noch was anderes, was sind die Kriterien, die erfüllt werden müssen damit eine Matrix ein Inverses hat?

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