Riemannsche Zeta-Funktion

30.05.2007, 20:58

Limes

Riemannsche Zeta-Funktion

Hallo liebes Forum,

die Werte von $\begin{eqnarray*} \zeta(-2n), n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind durch die Funktionalgleichung schnell zu bekommen.

Wie schaut es aber mit $\begin{eqnarray*} \zeta'(-2n) \end{eqnarray*}$ aus ?

Schon einmal vielen Dank für die Mühe im Voraus !

31.05.2007, 10:43

Lazarus

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Wie so oft hilft da Die Mathworld.Wolfram-Seite weiter:

Riemann Zeta Function bei Mathworld

Wie der dortigen Formel (30) zu entnehmen ist gilt:

$\begin{eqnarray*} \zeta'(-2n)=\frac{(-1)^n\cdot \zeta(2n+1)\cdot (2n)!}{\pi^{2n}\cdot 2^{2n+1}} \end{eqnarray*}$

31.05.2007, 11:44

Limes

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Zeta
$\begin{eqnarray*} \ \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie der dortigen Formel (30) zu entnehmen ist gilt:

$\begin{eqnarray*} \zeta'(-2n)=\frac{(-1)^n\cdot \zeta(2n+1)\cdot (2n)!}{\pi^{2n}\cdot 2^{2n+1}} \end{eqnarray*}$

Ok, die Formel folgt ebenfalls aus der Funktionalgleichung.

Ich dachte aber eher an einen Term, der unabhäng von den Werten der $\begin{eqnarray*} \ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \zeta - Funktion \end{eqnarray*}$ ist, etwa wie $\begin{eqnarray*} \zeta(-2n) = 0,\quad oder \quad\zeta(1-2n)= (-1)^{n} \frac{B_{n}}{2n!}, n \in \mathbb N,\quad B_{n}\quad n-te \quad Bernoullizahl \end{eqnarray*}$ .

Freue mich über jede Antwort !

31.05.2007, 11:45

Dual Space

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RE: Riemannsche Zeta-Funktion

Zitat:

Original von Limes
die Werte von $\begin{eqnarray*} \zeta(-2n), n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind durch die Funktionalgleichung schnell zu bekommen.

Wenn dieser Term kein Problem für dich ist, sollte dir die Darstellung von Lazarus doch gefallen.

31.05.2007, 12:46

Limes

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Zeta
Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} \zeta(2n+1) \end{eqnarray*}$ ?

31.05.2007, 21:06

Abakus

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RE: Zeta

Zitat:

Original von Limes
Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} \zeta(2n+1) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist noch unbekannt. Es gibt allerdings einige Irrationalitätssätze, $\begin{eqnarray*} \zeta(3) \end{eqnarray*}$ ist zB irrational.

Grüße Abakus smile

31.05.2007, 22:24

Limes

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Zeta
Also ist $\begin{eqnarray*} \zeta(2n+1) \end{eqnarray*}$ bekannt, wenn $\begin{eqnarray*} \zeta'(-2n) \end{eqnarray*}$ bekannt ist.

Gibt es denn keine Chance, etwa im Fall n=1, $\begin{eqnarray*} \lim_{s \to -2} \frac{\zeta(s)}{s+2} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen ?

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