Doppelintegral lösen

31.05.2007, 09:52

trauriger-igel

Doppelintegral lösen

$\begin{eqnarray*} \int_{arcsin(y)}^{pi/2}\int_{0}^{1}~cos(x)*\sqrt{1 + (cos(x))^2} ~dy ~dx = \int_{arcsin(y)}^{pi/2}~cos(x)*\sqrt{1 + (cos(x)^2)}~dx \end{eqnarray*}$ war mein erster Schritt.

Nun habe ich mit Substitution versucht weiter zu machen:

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{1 + (cos(x))^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dt/dx = \frac{(cos(x) *(-sin(x))}{(\sqrt{1 + (cos(x))^2)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \frac{1+(cos(x))^2*dt}{-sin(x)} = \frac{t^2*dt}{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Also mein Problem ist das ich das x nicht vollständig weg bekomme.

Kann mir bitte jemnd weiter helfen!

31.05.2007, 09:54

Dual Space

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RE: Doppelintegral lösen

Zitat:

Original von trauriger-igel
$\begin{eqnarray*} \int_{arcsin(y)}^{pi/2}\int_{0}^{1}~cos(x)*\sqrt{1 + (cos(x))^2} ~dy ~dx \end{eqnarray*}$

Bist du dir sicher, dass die Aufgabe so stimmt? Denn im Wesentlichen steht hier ein einfaches Integral und da finde ich "Doppelintegral lösen" ein wenig weit hergeholt.

31.05.2007, 09:59

trauriger-igel

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Ja, in der Aufgabenstellung sind die Integrale vertauscht, aber ich habe sie dann nach dem Satz von Fubini vertauscht um mir das Leben zu erleichtern. Das Problem ist für mich nur per substitution das dann zu integrieren.

31.05.2007, 10:05

WebFritzi

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Warum schreibst du dann "Doppelintegral". Das innere (also das y-) Integral kannst du einfach weglassen.

EDIT: Ach so, hast du ja auch gemacht. Dann passt einfach der Titel nicht.

31.05.2007, 10:06

Dual Space

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Ok ... Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \int \cos(x)\sqrt{1+\cos^2(x)}\dd x=\int \sqrt{\cos^2(x)+\cos^4(x)}\dd x \end{eqnarray*}$

Substituiere nun $\begin{eqnarray*} t=\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ und verwende dann $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\sin(\arccos \sqrt{t})=\sqrt{1-t}. \end{eqnarray*}$

31.05.2007, 10:31

Lazarus

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Alternativvorschlag:

$\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} u= \sqrt{2}\cdot \sin(v) \end{eqnarray*}$ .
Danach isses ein Kinderspiel.

31.05.2007, 10:31

Dual Space

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@traurigerigel: Könntest du bitte die Originalaufgabe posten? Irgendwie verwirrt mich die untere Grenze des ersten Integrals. So können wir sicher gehen, dass bei Fubini nichts schief gegangen ist.

Mittlerweile bin ich mir recht sicher, dass du nur die Integrale vertauchst hast. Das geht aber so einfach nicht!

31.05.2007, 16:28

trauriger-igel

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@ Dual space

Hier mal die originale Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{arcsin(y)}^{pi/2}~cos(x)*\sqrt{1 + cos^2(x)}~dx ~dy \end{eqnarray*}$

Berechen sie das Integral.

31.05.2007, 16:39

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Womit natürlich einiges geklärt ist: Die untere Grenze des inneren Integrals hängt von äußeren Integrationsvariable ab, du hast also kein Rechteck, über das du in der xy-Ebene integrierst, sondern ein zumindest teilweise krummlinig begrenztes Gebiet

$\begin{eqnarray*} G = \left\{ (x,y) \bigm| 0\leq y\leq 1,\; \arcsin(y)\leq x\leq \frac{\pi}{2} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du die Integrationsreihenfolge vertauschst, musst du trotzdem gewährleisten, dass du immer noch bzgl. $\begin{eqnarray*} (x,y)\in G \end{eqnarray*}$ integrierst. Für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ bedeutet nun $\begin{eqnarray*} \arcsin(y)\leq x \end{eqnarray*}$ umgestellt $\begin{eqnarray*} y\leq \sin(x) \end{eqnarray*}$ , so dass du $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch darstellen kannst gemäß

$\begin{eqnarray*} G = \left\{ (x,y) \bigm| 0\leq x\leq \frac{\pi}{2},\; 0\leq y\leq \sin(x) \right\} \end{eqnarray*}$

D.h., es gilt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 ~ \int\limits_{\arcsin(y)}^{\frac{\pi}{2}} ~ \cos(x)\cdot \sqrt{1+\cos^2(x)} ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} ~ \int\limits_0^{\sin(x)} ~ \cos(x)\cdot \sqrt{1+\cos^2(x)} ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Am besten malst du dir das Integrationsgebiet in der xy-Ebene mal auf, dann solltest du das vorstehende begreifen.

31.05.2007, 17:10

trauriger-igel

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@ Arthur Dent: Danke, ich habe meine Skizze nochmal genau durchgearbeitet und hab den Fehler gesehen.

Zum integrieren:

Das innere Integral, hab gleich die Grenzen eingesetzt, ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2}~sin(x)*cos(x)*\sqrt{1 + cos^2(x)}~dy \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich an das noch verbleibende Integral? Alles was ich bisher versucht habe schlug fehl.

31.05.2007, 17:15

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Die innere Integration ist durch; was du jetzt meinst ist die äußere Integration bzgl. $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ !!!

Nimm doch einfach die Substitution von Dual Space, oder leicht angepasst gleich $\begin{eqnarray*} t= 1+\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ , dann löst sich doch jetzt alles in Wohlgefallen auf...

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