Reihenproblem (Zinseszins mit fallendem Zins)

15.01.2005, 23:11

Noctunus

Reihenproblem (Zinseszins mit fallendem Zins)

Ich weiss nicht wirklich mein Problem einzuordnen - aber ich hoffe das eine 'Reihe' dem schon nahe kommt.

Das ganze basiert auf der Zinseszins-Rechnung mit fallendem Zinssatz

und zwar sieht das ganze so momentan aus

(Ergebnis -> Erg ; Grundwert -> GW ; Faktor -> F)

Erg1 = GW
Erg2 = GW + (GW * F)
Erg3 = GW + (GW * F) + (GW * F * F)
Erg4 = GW + (GW * F) + (GW * F * F) + (GW * F * F * F)
... etc.

das ganze lässt sich sicherlich verkürzen indem man

Erg4 = GW + (GW * F) + (GW * F^2) + (GW * F^3)

schreibt, aber ich würde daraus gerne eine Allgemeingültige Formel basteln in der ich nur die zu errechnende Stufe eintragen müsste

Ich habe momentan keine Ahnung wie ich das machen soll - kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? smile

17.01.2005, 09:07

klarsoweit

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RE: Reihenproblem (Zinseszins mit fallendem Zins)
Vielleicht bekommst du eine Idee, wenn ich dir verrate, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} 1 + F + F^2 + ... + F^n = \frac{1 - F^{n+1}}{1 - F} \end{eqnarray*}$
Stichwort: geometrische Reihe

17.01.2005, 16:07

Noctunus

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Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht bekommst du eine Idee, wenn ich dir verrate, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} 1 + F + F^2 + ... + F^n = \frac{1 - F^{n+1}}{1 - F} \end{eqnarray*}$
Stichwort: geometrische Reihe

sozusagen gilt dann in meinem Fall

$\begin{eqnarray*} G + G * F + G * F^2 + G * F^3 + ... + G * F^n \end{eqnarray*}$

Ich kann dann das "G" ausklammern

$\begin{eqnarray*} G * ( 1 + F + F^1 + F^2 + F^3 + ... + F^n) \end{eqnarray*}$

und dann kann ich das anwenden was du mir gerade gesagt hast:

$\begin{eqnarray*} G * \frac{1 - F^n}{1 - F} \end{eqnarray*}$

(es funktioniert soweit - nur die umformung selber versteh ich noch nicht ganz - ich müsste mal nach einer herleitung suchen)

danke für die hilfe smile

17.01.2005, 19:31

klarsoweit

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wie ich schon sagte: geometrische Reihe. Der Beweis wird meistens bei der vollständigen Induktion behandelt.

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Reihenproblem (Zinseszins mit fallendem Zins)

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