Schnittpunkt von Gerade und Zylinder

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LtJax Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt von Gerade und Zylinder
Hallo!
Ich hab jetzt schon in mehreren Anläufen versucht eine Gleichung für den/die Schnittpunkt(e) von Zylinder und Gerade gebraucht und bin am Rande des Wahnsinns angelangt, nur ihr könnt mir jetzt noch helfen smile Hoffe ich.

Also, hier mal mein Ansatz, korrektur erwünscht:

Erstmal der Zylinder (der geht der einfachheit durch den ursprung), definiert sich a) durch den Abstand zu seiner Axe der gleich dem radius sein muss

( q - mu*v )² = r²

und dadurch, das eben dieser abstand senkrecht auf der achse stehen muss

(( q - mu*v ),v) = 0

Jetzt hab ich die beiden zusammengesetzt und bekomme

( q - (q,v)/(v,v)*v )² = r²

als gleichung für den Zylinder.

So, jetzt hab ich mir gedacht ich muss nur noch die Gerade da einsetzen

( a + lambda*b - (a + lambda*b, v)/(v,v)*v )² = r²

Aber hier verlassen mich dann die geister. Wenn ich z.B. das quadrat in der Zylinder-Gleichung vorher auflöse und dann die Gerade einsetze ist der term relativ einfach - aber das, was ich in den zahlreichen versuchen da rausgekricht habe ist nicht richtig.
Dann hab ich versucht das quadrat nach dem einsetzen wechzumachen, und die Gleichung wird irre lang ( für meine verhältnisse ) und ich bekomm was total anderes raus als bei dem vorher auflösen.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich irgendwo einen fundamentalen fehler mache. Ich wäre äusserst dankbar wenn mir das mal wer vormachen könnte. Ich hätte das ganze gerne als coeffizienten für ne quadratische gleichung mit A,B und C.
Danke im vorraus.
Gust Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Gerade und Zylinder
hm, Gerade und Zylinder?

Nun, das kommt mal darauf an, wie du die gerade da durchsteckst. Sonst kannst du dir zwei beliebige Punkte auf der Zylinderoberfläche aussuchen, ohne irgendwas ausrechnen zu müssen.
 
 
LtJax Auf diesen Beitrag antworten »

Das versteh ich jetzt nich ganz... Wie können die Schnittpunkt denn beliebig sein?
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich nehme mal an, dass gerade und zylinder durch koordinaten im raum definiert sind und dann die schnittpunkte daraus errechnet werden müssen...

@jax:
ich kann leider mit deiner schreibweise nichts anfangen (:P), aber es gibt noch viele andere mathematiker hier Augenzwinkern
LtJax Auf diesen Beitrag antworten »

ach is auch wurscht, ich habs endlich selbst rausgekricht. Trotzdem danke euch smile

Wenn jemand an der lösung interresiert sein sollte, werde ich die auch gerne posten
jama Auf diesen Beitrag antworten »

 Wink   Jax,

wäre sicherlich nicht unpraktisch, wenn die anderen auch gleich die lösung hier einsehen könnten. bitte darum sie zu posten  smile  

danke  Prost  

gruß,

jama
LtJax Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, hier kommt sie:

Ich fang ganz neu an, also beachtet das zeug oben garnich.
Erstmal vorweg: (x,y) ist das Skalarprodukt von den Vektoren x und y.
Unser weg is ist die Gleichungen des Zylinders und der Geraden zusammenzufrikkeln und dann zu einer Standart-Quadratischen Gleichung Ax²+Bx+C=0 umzuformen. Wobei das x dann der parameter the Geraden ist.

Also, erstmal haben wir die Gerade G gegeben durch Stützvektor c und Richtungsvektor b. x is der Parameter den wir suchen.

G:



Das ganze ist dann p, ein punkt auf der gerade.

jetzt haben wir noch den Zylinder Z gegeben durch einen Stützvektor v und Richtungsvektor q, sowie einen parameter t für die Mittelachse und einen Radius r. Die beiden Gleichungen besagen, das ein vektor von der Mittelachse zu einem Punkt auf der Hülle ( den punkt nenn ich mal h) 1. senkrecht zur Mittelachse ist und 2. die länge r hat. Ich hoffe das is halbwegs richtig erklärt, habs mir alles selbst zusammengebraut.

Z1:



Z2:



so, jetzt machen wir die gleichungen erstmal ein bissl einfacher in dem wir v eliminieren. Es werden also praktisch der Zylinder und die Gerade um v zurückverschoben, das tut unserem parameter nicht weh. Jetzt haben wir ein leicht verändertes G:

G:



wobei



und bei Z fällt das v einfach raus

Z1:



Z2:



So, schon viel besser - wir haben jetzt also praktisch den Zylinder, der durch den Ursprung geht, und eine Gerade die so verschoben ist, dass sie das wieder ausgleicht. Jetzt setzen wir erstmal die beiden Z gleichungen zu einer zusammen indem wir den parameter t eliminieren. Dazu erstmal:

Z1:






Z2:




Z: (Z1 in Z2)



So, um jetzt die Schnittpunkte zu finden, setzen wir p gleich h. Also wir wollen einen punkt der auf der Geraden ist und auf der Hülle im Zylinder.
Dann bekommen wir das etwas hässliche

G in Z






So, damit das ganze jetzt nicht wirklich haarig wird, substituiere ich




damit gibt das ganze schön leserlich




Damit haben wir dann in der Standart Quadratischen Gleichung Ax²+Bx+C=0





Das zurück-substituieren überlasse ich mal euch :-)
Beim Ergebniss bekommt man ja entweder zwei, eine oder garkein lösung raus. Wie man das interpretiert, hängt davon ab als was man den Zylinder definiert. Was ich hier gerade gemacht hab, waren die schnittpunkte mit der Hülle des Zylinders - wenn der Zylinder hohl is, ist das auch ganz korrekt. Wenn er nicht hohl ist, und man 2 Ergebnisse bekommt, dann hat man natürlich unendlich viele Schnittpunkte ( also das ganze Interval dazwischen). Wenn b und q colinear sind, kann es sogar sein, dass man bei 0 Schnittpunkten mit der Hülle eigentlich unendlich viele Schnittpunkte mit dem gefüllten Zylinder hat.

So ich hoffe, dass man dem einigermaßen folgen konnte. Vielleicht kann ein Moderator das ja mal ein bisschen aufarbeiten und in die Schnittprobleme FAQ posten :-)Ich wäre sehr geehrt.
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja wunderbar, sogar gleich mit Mimetex die Formeln geschrieben Gott
LtJax Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, jo, war mein erster Kontakt mit mimetex. Recht cool muss ich sagen. Obwohl ich muss sagen, ich hatte den post erst in plain text geschrieben und dann hab ich nochmal gut ne stunde gebraucht das zeug zu mimetex zu konvertieren - is ne ganz schöne tipparbeit bei vektoren Augenzwinkern :P
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