Problem: Uneigentliche Integrale - ab wann?

16.01.2005, 01:27

widluk

Problem: Uneigentliche Integrale - ab wann?

Hallo!
Ich beschäftige mich momentan mit uneigentlichen Integralen. Nun stellt sich mir folgendes Problem. Es sei: $\begin{eqnarray*} f(x) = 1/x^{n} \end{eqnarray*}$ . Man betrachtet $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty } \int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist und somit vernachlässigt werden kann.
Wenn $\begin{eqnarray*} n \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, handelt es sich um ein gewöhnliches Integral, da die Stammfunktion eine ln-Funktion sein muss und damit gegen unendlich strebt. Für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ handelt es sich um ein uneigentliches Integral, da die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = - 1/((n-1)(x^{n-1} )) \end{eqnarray*}$ lautet und sie gegen Null strebt.
Nun stellt sich mir die Frage, ab welchem n der Umschwung von einem gewöhnlichen zu einem uneigentlichem Integral stattfindet. Es muss 1<n<2 sein. Ich möchte errechnen für welches n diese Bedingung gilt. Habt ihr Ideen für Ansätze? Kann man sagen, dass es sich um ein uneigentliches Integral handelt, wenn das Streben der Funktion gegen Null stärker ist, als das Streben gegen unendlich?

MfG widluk

16.01.2005, 20:31

Mathespezialschüler

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Eine Stammfunktion "mit" ln bekommst du nur für n=1!!!. Für n<1 ist das nicht der Fall! Für alle $\begin{eqnarray*} n\neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^n}~\mbox{d}x=\frac{1}{(1-n)x^{n-1}} \end{eqnarray*}$

!! Jetzt sollte klar sein, wann es konvergiert und wann nicht.

PS: Was ist denn ein "gewöhnliches" Integral? Wenn du das im Sinne von "normal" meinst, dann stimmt das nicht.

16.01.2005, 23:05

widluk

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Uneigentliche Integrale - wann?
Hallo!
Also ich weiß irgendwie immer noch nicht wie ich drauf kommen soll :-(
Meine Vermutung, dass 1<n<2 stimmt doch? Ich habe für die Stammfunktion von dir jetzt verschiedene werte für n in diesem bereich eingesetzt. Diese Funktionen haben alle den Grenzwert Null, wenn ichs korrekt gemacht habe! Das würde also heißen, dass es bereits für n>1 der fall wäre? Würdest Du mir vielleicht noch sagen, wie du auf diese Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} n\neq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Danke
widluk

16.01.2005, 23:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von widluk
Das würde also heißen, dass es bereits für n>1 der fall wäre? Würdest Du mir vielleicht noch sagen, wie du auf diese Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} n\neq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Für die Stammfunktion: Das ist doch das Grundintegral! Einfach mal ableiten, dann siehst es.
Und zu dem anderen: Für $\begin{eqnarray*} n\leq 1 \end{eqnarray*}$ divergent, für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ konvergent.

17.01.2005, 16:31

Adarah

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Ich würde sagen, dass dein umschwung für alle n größer 1 stattfindet, denn diese kannst du ja nicht einfach mit ln ableiten. Aber was ist denn der bereich von n, natürliche Zahlen oder?

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